PRÉ-REQUISITO(S):

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 6

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108

SEMESTRE:

CURSO(S): Bacharelado em Matemática e Computação Científica.

EMENTA: Anel, domínio e corpo. Teoremas dos homomorfismos. Corpo de fracões de um domínio. Domínios Euclidianos, principais e com mdc. Teorema de Gauss. Anéis Artinianos, Anéis Noetherianos. Noções sobre estrutura de módulo e Álgebra.

OBJETIVOS DO CURSO: Propiciar ao aluno condições de:

· Desenvolver sua capacidade de dedução;

· Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

· Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações

matemáticas;

· Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

· Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

· Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:.

1- Reconhecer estruturas algébricas e demonstrar teoremas (resultados) relacionados.

2- Conhecer e aplicar resultados sobre homomorfismo e isomorfismo de módulos.

3. Identificar propriedades de bases de módulos e compará-las com propriedades de

base de espaços vetoriais.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1 - Anel domínio e corpo

- Definição e exemplos.

- Subanel e Subcorpo.

- Corpo de frações de um domínio

- Anéis e corpos ordenados.

• Característica de um anel. Característica de um domínio. Característica de um corpo.

- Construção de corpos com os elementos (onde p é um número primo).

2 – Anéis Quociente

• Ideais (à esquerda, à direita e bilaterais). Intercessão e soma de ideais. Ideal gerado

por um conjunto, ideal principal, e anel principal.

- Anel quociente.

- Ideal maximal, ideal primo, e teoremas relacionados.

- Homomorfismos de anéis. Anéis isomorfos. Teoremas de isomorfismo.

3 – Anéis Especiais

- Domínios euclidianos e suas propriedades.

- Anéis principais e suas propriedades.

- Anéis fatoriais e suas propriedades.

- Anéis como mdc (ou mmc) e suas propriedades.

4 – Condições de Cadeia

- Cadeia ascendente ( e descendente) de ideais.

- Anéis artinianos e Noetherianos.

5 – Módulos e Álgebras

- R-módulo a esquerda (direita ou bimódulo): definição, exemplos e propriedades.

Definição de R-álgebra.

• Submódulo e Subálgebra. O anulador de um módulo. Intercessão e soma de sub-

módulos. Módulo gerado por um conjunto, módulo cíclico.

- Módulo quociente.

• Homomorfismos de R-módulos: definição, propriedades. Núcleo de um R-

homomorfismo de módulos.

- Teorema do homomorfismo e teoremas de isomorfismo.

- Sequências exatas.

- Somas e produtos diretos. Soma direta interna.

• R-homomorfismo projetor. Teorema da correspondência entre projetores e

idempotentes do R-módulo.

- Base de um R-módulo. Módulos livres e finitamente gerados.

- Anéis e módulos com condições de cadeia (artinianos e noetherianos).

- Módulos de torção e posto de um módulo.

1. Garcia, A. e Lequain, Y. – Álgebra: um curso de introdução, IMPA, RJ, 1988.

2. Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, IMPA, RJ, 2002.

3. Herstein, I. - Tópicos de álgebra , Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono,

1970.

4. Milies , F. C. P. Anéis e Módulos, publicações do IME_USP, 1972.

5. Monteiro, L. H. J. - Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos, RJ,

1978.

6. Herstein, I. - Tópicos de álgebra , Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono.,

1970.

7. Milies , F. C. P. e Coelho, S. P. - Números: uma introdução à matemática, 1ª Ed.,

USP, SP, 1998.

8. Monteiro, L. H. J. - Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos, RJ, 1978.