UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS - CFM

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE MTM 5628 - EQUACÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Semestre : 2004/1.

Pré-requisito: MTM 5864

No. de horas aulas semanais: 06

Total de horas-aula: 108

Curso: Matemática, habilitação: Bacharelado em Matemática e Computação Científica

EMENTA: Alguns métodos usuais de resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Equações diferenciais ordinárias de ordem superior. Sistemas lineares com coeficientes constantes. Cálculo da exponencial de uma matriz usando o teorema da forma canônica de Jordan. Retratos de fase de sistemas bidimensionais. Teorema de existência e unicidade de soluções. Estabilidade de soluções de sistemas não lineares. Teoremas de Liapunov para estabilidade.
 
  OBJETIVOS GERAIS:

I . Propiciar ao aluno condições de:

1. Desenvolver sua capacidade de dedução e de raciocínio lógico e organizado;

2. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas e seu espírito crítico e criativo;

3. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas ao longo do curso

 4. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

  1. Dominar com rigor e detalhes conceitos e resultados relativos aos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n.
  2. Dominar conceitos e técnicas de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias.
  3. Saber calcular a exponencial de uma matriz usando a forma canônica de Jordan.
  4. Conhecer os retratos de fase de sistemas lineares bidimensionais.
  5. Conhecer e aplicar teoremas de existência e unidade de resoluções de equações diferenciais ordinárias.
  6. Entender o conceito de estabilidade segundo Lyapunov e aplicar o Teorema de Estabilidade a sistemas autonomos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

I. TEORIA GERAL

  1. Definição de uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, exemplos.
  2. Problema de valor inicial.
  3. Existência e unicidade de soluções – Discussão preliminar.
  4. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.
  5. Equações diferenciais ordinárias de ordem n.
  6. O método da variação dos parâmetros.
  7. Equações diferenciais ordinárias exatas – Fator integrante.
II. SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
  1. Definição de um sistema de EDO’s, exemplos, existência de solução.
  2. Sistemas lineares homogêneos: Espaço – solução, Matriz fundamental, Fórmula de Abel (Liouville), Wronskiano.
  3. Sistemas lineares não-homogêneos – Variação dos parâmetros.
  4. Sistemas lineares com coeficientes constantes: Exponencial de uma matriz, Método dos autovalores e autovetores cálculo de exponencial de matrizes, cálculo de exponencial de uma matriz usando a forma canônica de Jordan.
  5. Retratos de fase de sistemas lineares bidimensionais.
III. TEORIA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE
  1. Teorema de existência e unicidade de soluções – Método de Picard.
  2. Teorema de existência e unicidade para sistemas lineares.
  3. Extensão de soluções.
IV. ESTABILIDADE DE SISTEMAS AUTÔNOMOS
  1. Definição de estabilidade e estabilidade assintótica, exemplos.
  2. Estabilidade para sistemas lineares e quase-lineares.
  3. O Teorema de Lyapunov para estabilidade.
BIBLIOGRAFIA
  1. BRAUER, F., Nohel, J.A; Ordinary Differential Equations: A First Course, W. A. Benjamin, INC, New York, 1967.
  2. BRAUER, F., Nohel, J.A; The Qualitative Theory of Ordinary Differencial Equations, W., Benjamin, INC., 1969.
  3. Braun, M, Equações Diferenciais e suas Aplicações, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979.
  4. CODDINGTON, E. A., An Introduction to Ordinary Equations, Dover publications. INC, New York, 1993.
  5. De FIGUEIREDO, D. G. e NEVES, A. F., Equações Diferenciais Aplicadas, Colóquio Brasileiro de Matemática, Universitária, 2002..
  6. HIRSCH, M., SMALE, S., Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Álgebra, Academic Press, INC. N. Y., 1974.
  7. YOSIDA, K., Lectures on Differential and Integral Equations, Wiley Inter-science,

    8. N. Y., 1960.
  8. BELLMAN, R, & COOKIE, K. L., Modern Elementary Differential Equations:
Second Edition, Publications, INC, New York, 1994.