- PLANO DE ENSINO
DISCIPLINA: Métodos de Física-Matemática I
CÓDIGO: MTM 5173
PRÉ-REQUISITO: MTM 5118
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 04
Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 72 (68 efetivas)
SEMESTRE: 2004/2
CURSO: Física
PROFESSOR: Roberto Correa da Silva
EMENTA: Séries de Fourier. Transformadas de Fourier e de Laplace e aplicações. Funções eulerianas (Gama e Beta). Noções da teoria de distribuições (função Delta de Dirac). Introdução aos espaços de Hilbert e à notação de Dirac (bras e kets).
OBJETIVOS: Propiciar que o aluno familiarize-se com as propriedades básicas das séries e transformadas de Fourier e da transformada de Laplace e seu uso em EDOs, assim com as propriedades da "função" delta de Dirac e das funções Gama e Beta. Apresentar os conceitos básicos de espaços de Hilbert e aplicações.
PROGRAMA:
I - TRANSFORMADAS DE LAPLACE E APLICAÇÕES
- Transformada de Laplace: definição e existência, propriedades básicas, transformadas de funções elementares;
- Transformada inversa de Laplace;
- Transformadas de derivadas, integrais e funções periódicas, teoremas de deslocamento,
- Aplicação em problemas de valor inicial envolvendo EDO’s;
- Teorema da convolução e aplicações a EDO’s não homogêneas.
II - SÉRIES E TRANSFORMADAS DE FOURIER
1. Funções periódicas e séries trigonométricas, definição de série de Fourier;
2. Séries de seno- e cosseno-Fourier; forma complexa;
3. Considerações sobre convergência, identidade de Parseval e fenômeno de Gibbs;
4. Transformada de Fourier e sua inversa;
5. Transformada seno- e cosseno-Fourier;
6. Teorema da convolução; Teorema de Plancherel;
7. Transformada de Fourier em espaços de Schwartz (decrescimento rápido).
III - ELEMENTOS DA TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES
- Definição da função Delta de Dirac e propriedades fundamentais;
- Identidades básicas para cálculo;
- A função Delta em 2 e 3 dimensões e em vários sistemas de coordenadas;
- Representação integral e outras representações;
- Função de Heaviside;
IV - FUNÇÕES EULERIANAS
- Definição integral da função Gama;
- Propriedades básicas, fatorial, gráfico, derivada logarítmica (função digrama);
- Fórmula de Stirling;
- Definição e propriedades da função Beta.
V - ESPAÇOS DE HILBERT
- Espaços métricos, funções contínuas, seqüências, convergência, seqüências de Cauchy, espaços completos;
- Espaços vetoriais normados e com produto interno, espaços de de Hilbert;
- Seqüências e bases ortonormais (ex.: séries de Fourier), espaços separáveis.
METODOLOGIA: O conteúdo programático será desenvolvido através de aulas expositivas sobre o conteúdo teórico e de aulas práticas de exercícios. Eventualmente, algum trabalho escrito poderá ser exigido para complementar a nota de uma prova.
CRONOGRAMA de PROVAS:
P1: item I
P2: item II
P3: itens III e IV
P4: item V
E: Exame Final
AVALIAÇÃO: A média M será obtida de
M = (P1 + P2 + P3 + P4)/4,
onde P1, P2, P3 e P4 são provas escritas obrigatórias, referentes às cinco áreas do programa como indicadas no cronograma. Estará aprovado o aluno com freqüência suficiente que obtiver média M maior ou igual a 5,75, segundo o Art. 72 da Resolução nº 17/Cun/97. O aluno com freqüência suficiente que apresentar média M menor que 5,75 e maior ou igual a 3,0 terá direito a realizar um exame final, sobre todo o conteúdo, conforme o que dispõe o §2 do Art. 70 da Resolução nº 17/Cun/97. Neste caso, a média para ser aprovado, MF, será dada pela fórmula
MF = (M + E)/2, onde E é a nota do exame final, segundo o §3 do Art. 71 da mesma resolução.
BIBLIOGRAFIA
- G. ARFKEN, "Mathematical Methods for Physicists", Academic Pr., 1985.
- J. BELLANDI FILHO, "Funções Especiais" , Papirus, 1986.
- N. BOCCARA, "Functional Analysis, an Introduction for Physicists", Academic Press, 1990.
- W. BOYCE, R.C. DIPRIMA, "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems", John Wiley, 1969.
- E. BUTKOV, "Física Matemática", LTC Editora, 1988.
- R.V. CHURCHILL, "Fourier series and boundary value problems", 2a ed., McGraw-Hill, 1963.
- C. COHEN-TANNOUDJI, B. DIU, F. LALOË, "Quantum Mechanics", vol. I, John Wiley / Hermann, 1977.
- H.F. DAVIS "Fourier Series and Orthogonal Functions", Dover, 1963.
- D.G. DE FIGUEIREDO, "Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais", Projeto Euclides, IMPA - CNPq, Rio de Janeiro, 1987.
- I.M. GELFAND, G.E. SHILOV, "Generalized Functions". Academic Press, 1964.
- D.L. KREIDER, et al. "Introdução à Análise Linear", vol1 e vol.3, Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1972.
- E. KREYSZIG, "Introductory Functional Analysis with Applications", John Wiley, 1989
- E. KREYSZIG, "Matemática Superior", vol. 1, LTC, 1969.
- J. MATHEWS, R.L. WALKER, "Mathematical Methods of Physics", 2a ed., W. A. Benjamin, 1970.
- M. REED, B. SIMON, "Methods of Modern Mathematical Physics", vol. I e II, Academic, 1972.
- L. SCHWARTZ, "Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques", Hermann, 1979. (tem também a versão inglesa)
- M.R. SPIEGEL, "Transformadas de Laplace; resumo da teoria", McGraw-Hill, 1971.
- M.R. SPIEGEL, "Cálculo Avançado". Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill, Ltda, 1971.
- J. THAYER, "Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais", Projeto Euclides, IMPA-CNPq, Rio de Janeiro, 1987.
- Florianópolis, 13 de julho de 2004.
Prof. Roberto Correa da Silva
Coordenador da disciplina
MTM, sala 321