PLANO DE ENSINO
DISCIPLINA: GEOMETRIA DIFERENCIAL
CÓDIGO: MTM 5517
PRÉ-REQUISITO:
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06
Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108
SEMESTRE: 2004/2
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
PROFESSOR: Aldrovando Luís Azeredo Araújo
EMENTA: Curvas em R3 . Curvas em Rn. Curvas planas. Teoria Global. Superfícies em R3. Aplicação de Gauss (Segunda Forma Fundamental). Geometria Esférica. Geometria Hiperbólica.
OBJETIVOS GERAIS:
I - Propiciar ao aluno condições de:
1. Desenvolver sua capacidade de dedução
2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações
matemáticas.
4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo.
5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática
apresentadas ao longo do curso.
6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.
III - Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e
resolver problemas novos em Matemática.
OBJETIVOS:
CONTEÚDO PROGRAMATICO:
1 - Curvas em R3
Introdução. Curvas Parametrizadas. Curvas Regulares. Comprimento de Arco. Curvatura e Torsão. Curvas Indicatrizes e Involutas.
2 - Curvas em Rn. Curvas Planas.
Introdução. Referencial de Frenet, Equações de Frenet. Teoria Local de curvas Parametrizadas pelo Comprimento de Arco. Curvas planas com Curvatura Constante.
3 – Teoria Global de Curvas Planas
Número de Rotação, Umlaufsatz. Desigualdade Isoperimétrica
4 - Superfícies Regulares em R3
Introdução. Superfícies Regulares. Imagem Inversa de Valores Regulares. Funções Diferenciáveis sobre Superfícies. O Plano Tangente. Aplicações Diferenciáveis entre Superfícies e a Derivada de uma Aplicação. A Primeira Forma Fundamental (métrica induzida). Área. Orientação de Superfícies. Exemplos de Superfícies não Orientáveis. Campos Vetoriais sobre Superfícies.
5- Aplicação de Gauss
Segunda Forma Fundamental. Curvatura Média, Curvatura Gaussiana. Derivada Covariante. Símbolos de Christoffel. Teorema de Egregium de Gauss e Equações de Mainard-Codazzi. Conexão de Levi-Civita sobre uma Superfície Mergulhada em R3 . Transporte Parallelo. Curvatura. Geodésicas.
6 – Geometria Esférica
Geodésicas de S2 . Isometrias de S2 . Teorema da soma dos ângulos internos de
um triângulo geodésico
7 – Geometria Hiperbólica
Modelo do semi-plano superior: geodésicas de H2 . Isometrias de H2 . Teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo geodésico. Curvatura de H2.
AVALIAÇÃO: Serão realizadas (03) três avaliações obrigatórias durante o semestre; considerar-se aprovado o aluno que obtiver média aritmética simples nas quatro avaliações igual ou superior a 6 (seis). As avaliações terão pesos iguais. A avaliação final será de acordo com a Resolução nº 17/CUn/97.
METODOLOGIA: O conteúdo programático será desenvolvido através de aulas expositivas e dialogadas, além da participação efetiva do aluno na construção e resolução de exercícios.
CRONOGRAMA: Unidade I: 13 horas/aula
Unidade II: 13 horas/aula
Unidade III: 15 horas/aula
Unidade IV: 15 horas/aula
Unidade V : 15horas/aula
Unidade VI: 12 hora/aula
Unidade VII: 15horas/aula
Avaliações: 10 horas/aula
TOTAL: 108 horas/aula
BIBLIOGRAFIA:
DO CARMO, M.; Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, 1976.
KLINGENBERG, WILHELM; A Course in Differential Geometry, Springer-Verlag, GTM 51, 1978.
LIPSCHUTZ, MARTIN M.; Differential Geometry, Coleção Schaum , Series in Mathematics, MacGraw-Hill, 1969.
BEARDON, ALAN; The Geometry of Discrete Groups, Springer-Verlag, GTM 91, 1982.
VENTURA, PAULO; Geometria Diferencial, Coleção Matemática Universitária – SBM 1998.
Florianópolis, 04 de agosto de 2004
Prof. Aldrovando Luís Azeredo Araújo
Coordenador da disciplina