PLANO DE ENSINO

DISCIPLINA: Cálculo IV

CÓDIGO: MTM 5118

PRÉ-REQUISITO: Cálculo III

NÚMERO DE AULAS SEMANAIS: 04

TOTAL DE HORAS-AULAS: 72

SEMESTRE: 2005/1

CURSOS: Física

PROFESSOR: Rubens Starke

EMENTA: Séries numéricas. . Séries de funções. Séries de Potências. Funções Complexas. Integração Complexa.

OBJETIVOS: O aluno ao final do curso deve ser capaz de:

1) Identificar séries numéricas e examiná-las quanto à convergência e divergência.

2) Identificar séries de funções, examiná-las quanto à convergência e divergência, bem como expandir-funções em séries de potências.

3) Identificar números complexos. Analisar e solucionar problemas sobre funções complexas, limites e continuidade de funções complexas, derivadas de funções complexas. Calcular a integral de funções complexas.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

Unidade 1: Seqüências e séries numéricas

1.1. Seqüências

1.1.1. Definição

1.1.2. Limite

1.1.3. Convergência

1.1.4. Seqüências monótonas

1.1.5. Seqüências limitadas

1.1.6. Propriedades.

1.2. Séries numéricas

1.2.1. Definição

1.2.2. Somas parciais

1.2.3. Convergência

1.2.4. Série geométrica e série harmônica

1.2.5. Resto de uma série

1.2.6. Operações com séries, propriedades

1.2.7. Testes de convergência: termo geral, comparação, integral, razão, raiz.

1.2.8. Séries alternadas: definição, exemplos, convergência, convergência absoluta, teste de Leibniz.

Unidade 2: Séries de funções

2.1.Definição

2.2.Convergência pontual

2.3.Séries de potências: definição, convergência, raio e intervalo de convergência.

2.4.Convergência Uniforme

2.5.Derivação e integração de séries de potências

2.6.Séries de Taylor e séries de Mac-Laurin: definição, existência, convergência.

2.7.Métodos práticos para obtenção de séries de potências.

2.8.Séries de potências e equações diferenciais ordinárias.

Unidade 3: Números complexos. Funções Complexas Analíticas

3.1.Números complexos. Plano Complexo.

3.2.Forma Polar dos Números complexos. Potências e Raízes

3.3.Curvas e regiões no plano Complexo

3.4.Funções de uma variável Complexa. Limite. Derivada. Função Analítica

3.5.Equações de Cauchy-Riemann

3.6.Funções Complexas Elementares: Funções polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.

Unidade 4: Integração Complexa

4.1.Integral de linha no plano Complexo

4.2.Teorema da integral de Cauchy

4.3.Existência da integral indefinida

4.4.Formula da Integral de Cauchy

Unidade 5: Série de Potências. Cálculo de Resíduos

5.1.Series de Potências

5.2.Series de Taylor

5.3.Séries de Laurent

5.4.Convergência Uniforme

5.5.Singularidades e Zeros

5.6.Cálculo de Resíduos e Aplicações

5.7.Resíduos

5.8.Teorema do Resíduo. Polos

5.9.Cálculo de integrais reais

METODOLOGIA: O conteúdo programático será desenvolvido pelo professor através de aulas expositivas, dialogadas.

OBSERVAÇÃO: Sugestão de cronograma de aulas e provas;

Unidade 1 - 20 aulas 1 Prova - Unidade 1

Unidade 2 - 12 aulas 2 Prova - Unidades 2 e Unidade 3 (até 3.3)

Unidade 3 - 12 aulas 3 Prova Unidades 3 (restante) e 4.

Unidade 4 - 14 aulas 4 Prova - Unidade 5

Unidade 5 - 14 aulas

AVALIAÇÃO:

O aluno será avaliado através de 4 (quatro) provas escritas e será aprovado aquele que, além de freqüência suficiente, obtiver média aritmética das 4 avaliações não inferior a 6.

PROVA FINAL

De acordo com o Artigo 70 da Resolução 17/Cun/97, o aluno com freqüência suficiente e aproveitamento insuficiente, com média final não inferior a três, terá direito a uma nova avaliação, no final do semestre, sobre todo o conteúdo programático. A nota final desse aluno será calculada através da média aritmética entre a média das avaliações anteriores e a nota da avaliação final.

BIBLIOGRAFIA:

  1. APOSTOL, Tom M. - Cálculo, vol.1, Editora Reverté Ltda, 1979.
  2. ÁVILA, G. S. S. - Funções de uma Variável, vol.2, (3 ed.), Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1982.
  3. CHURCHILL, Ruel V. - Variáveis complexas e suas Aplicações, Ed. Mc Graw-Hill, 1975.
  4. KREYSZIG, Ervin - Matemática Superior, vol. 3, 4, (2 ed.) Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1985.
  5. LEITHOLD, Louis - Cálculo com Geometria Analítica, vol.2, (2 ed.), Editora HARBRA, São Paulo, 1986.
  6. PISKUNOV, N. - Cálculo Diferencial e Integral, vol.2, (2 ed.), Lopes da Silva Ed., 1990.
  7. SIMMONS, George F. - Cálculo com Geometria Analítica, vol.2,. Ed. Mc Graw-Hill, 1987.

Florianópolis, 16 de dezembro de 2004

Prof. Rubens Starke