PLANO DE ENSINO

DISCIPLINA: Álgebra Linear II

CÓDIGO: MTM 5255

PRÉ-REQUISITO: MTM 5254

N║ DE HORAS-AULA SEMANAIS: 04

TOTAL DE HORAS-AULA: 64

SEMESTRE: 2005/1

CURSO: Licenciatura em Matemática

PROFESSORES: Ruy Exel Filho e Sonia Elena Palomino Bean

EMENTA: Produto Interno. Bases Ortogonais. Função determinante. Autovalores e autovetores. Transformação autoadjunta. Transformações ortogonais e unitárias. Teorema de Schur. Teorema Espectral. Formas bilineares. Diagonalização de formas quadráticas. Identificação de cônicas. História da Matemática relacionada com o conteúdo.

OBJETIVOS: Propiciar ao aluno condições de:

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1- Estudar operadores diagonalizáveis a partir de seus autovalores e respectivos autovetores.

2- Estudar propriedades dos operadores normais.

3- Conhecer algumas decomposições matriciais, seus aspectos teóricos e algumas aplicações práticas.

4- Identificar cônicas a partir da diagonalização de formas quadráticas.

5- Generalizar o conceito de produto escalar, estendendo os conceitos de ortogonalidade.

6- Identificar as propriedades da função determinante.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

UNIDADE I - PRODUTO INTERNO

1.1 Produto escalar ( produto vtHu)

1.2 Definição e exemplos. Norma definida por produto interno

1.3 Desigualdade de Cauchy-Schwartz

1.4 Ângulo entre vetores. Ortogonalidade

1.5 Projeção ortogonal sobre um espaço finitamente gerado

1.6 Bases ortonormais. Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

1.7 Matrizes ortogonais. Reflexões de Householder

1.8 Matriz de um produto interno - propriedades.

UNIDADE II - Autovalores e Autovetores de um Operador Linear

1.1. Definição. Exemplos.

1.2. Polinômio característico. Multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica do autovalor. Polinômio mínimo.

1.3. Autoespaço. Subespaço invariante por um operador.

1.4. Operador diagonalizável. Potências de uma matriz diagonalizável.

1.5. Matrizes complexas: simétrica x hermitiana, ortogonal x unitária, anti-simétrica x anti-hermitiana.

1.6. Transformações de Similaridade. Forma de Schur, Forma Diagonal.

UNIDADE III - Transformações Multilineares

3.1. Formas Bilineares

3.1.1. Forma quadrática associada a uma forma bilinear simétrica.

3.1.2. Diagonalização de formas quadráticas. Identificacão de cônicas.

3.2. A função determinante.

METODOLOGIA

Aulas expositivas e dialogadas com participação dos alunos ( ida ao quadro, exercícios desenvolvidos individualmente e em grupo). Haverá testes desenvolvidos ao longo do semestre que serão incluídos na avaliação. Eventualmente haverá o desenvolvimento de um trabalho escrito, de caráter opcional, baseado nas aplicações do conteúdo.

AVALIAÇÃO

Serão feitas 4 avaliações. 3 avaliações escritas, P1, P2, P3; e a avaliação Pt obtida pelo 75% dos testes aplicados em aula.

A média semestral M será obtida pela média aritmética

M = P1 + P2 + P3 + Pt

4

O aluno será aprovado se atingir no mínimo 75 % de frequência as aulas e média M > 6,0 .

O exame final será (de acordo com a resolução 019/CUn) uma prova Pf de todo o conteúdo e 3,0 < M < 6,0 (e o aluno atingir no mínimo 75 % de frequência). Para efeito de calculo da média final Mf

Mf = M + Pf

2

Se Mf > 6,0 o aluno estará aprovado, caso contrário estará reprovado.

Se no decorrer do semestre a frequência do aluno for inferior a 75 % do total de aulas previstas pelo calendário letivo, então ele será automaticamente reprovado.

 

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Leon, S. J. - Álgebra Linear com Aplicações, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 4¬

ed., Rio de Janeiro, 1999.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

  1. Anton, H., Rorres, C. - Álgebra Linear com Aplicações, Bookman Editora, Porto Alegre, 8¬ ed., 2001.
  2. Lima, E. L. - Álgebra Linear, Rio de Janeiro: SBM, 1995.
  3. Boldrini, J., Costa S. I. R., Figueiredo, V. L, Wetzler, G. - Álgebra Linear, Harbra, 1980.
  4. Callioli, A. C., Domingues, H. H., Costa, R. C. F. - Álgebra Linear e Aplicações, Atual Editora LTDA, 1990.
  5. Edwards Jr., C. H., Penney, D. E. - Introdução à Álgebra Linear, Prentice-Hall do Brasil , 1998.
  6. Kolman, B. - Introdução à Álgebra Linear, Prentice - Hall do Brasil, 1998.
  7. Lipschutz, S. - Algebra Linear, São Paulo: Makron Books, 3¬ ed., 1994.

Florianópolis, 21 de fevereiro de 2005

Prof¬ Sonia Elena Palomino Bean (Coordenadora)