UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 

PLANO DE ENSINO

 

DISCIPLINA: INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS

CÓDIGO: MTM 5263

PRÉ-REQUISITO: MTM 5262 - Álgebra II

Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06

TOTAL DE HORAS-AULA: 108

SEMESTRE: 2005/1

CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica.

PROFESSOR: Oscar Ricardo Janesch.

EMENTA: Anel de polinômios: algoritmo da divisão, fatoração única, critérios de irredutibilidade, polinômios irredutíveis e ideais maximais. Extensões algébricas dos racionais. Construção por régua e compasso. A correspondência de Galois. Solubilidade por meio de radicais.

Objetivos Gerais: Propiciar ao aluno condições de:

- Desenvolver sua capacidade de dedução;

- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

- Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

- Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

- Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

Objetivos Específicos: Ao fim do curso o aluno deve ser capaz de:

Conteúdo programático:

1) Anéis de polinômios.

A característica de um anel.

O algoritmo de Euclides para polinômios.

Ideais em anéis de polinômios.

Polinômios irredutíveis e Critérios de Irredutibilidade.

Construção de corpos a partir de polinômios irredutíveis.

Fatoração.

2) Extensões de Corpos.

Exemplos básicos.

Elementos algébricos e transcendentes.

Extensões algébricas.

Adjunção de raízes.

Corpo de decomposição.

Extensões simples e o Teorema do Elemento Primitivo.

Extensões separáveis.

3) Construção por régua e compasso.

Quadratura do círculo.

Duplicação do cubo.

Trisecção de ângulo.

Construção de polígonos regulares.

4) Correspondência de Galois e Solubilidade.

Extensões galoisianas.

Extensões normais.

O grupo de Galois de um polinômio.

Teorema da Correspondência de Galois.

Exemplos.

Extensões radicais.

Solubilidade pôr radicais.

A insolubilidade da quíntica geral.

METODOLOGIA: O Programa será desenvolvido através de aulas expositivas.

AVALIAÇÃO: Serão realizadas quatro provas escritas. Estará aprovado o aluno com freqüência suficiente que obtiver média semestral maior ou igual a 6 (seis).

O aluno com freqüência suficiente e com média entre 3 (três) e 5,5 (cinco e meio) terá direito a uma avaliação final, abrangendo todo o conteúdo do semestre. Neste caso, a nota final será a média aritmética entre a avaliação final e a média semestral. Será aprovado o aluno que tiver nota final maior ou igual a 6 (seis).

BIBLIOGRAFIA

1. P.M. Cohn, ALGEBRA vol. II, Wiley & Sons, Londres, 1977.

2. A. Gonçalves, INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA, IMPA, RJ, 1999.

3. I. Herstein, TÓPICOS DE ÁLGEBRA, Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono, 1970.

4. N. Jacobson, BASIC ALGEBRA I, Freeman, San Francisco, 1974.

5. Kaplansky, INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS, Notas de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1964.

6. I. Stewart, GALOIS THEORY, Chapman & Hall, terceira edição, 2002.

 

 

 

Florianópolis, 08 de Dezembro de 2004

Prof. Oscar Ricardo Janesch

Coordenador da disciplina