DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

DISCIPLINA: VARIÁVEL COMPLEXA

CÓDIGO: MTM5327

PRÉ-REQUISITO: MTM5863

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 05

TOTAL DE HORAS-AULA: 90

SEMESTRE: 2005/1

CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica.

PROFESSOR: Félix Pedro Quispe Gómez

OBJETIVOS DO CURSO: Propiciar ao aluno condições de:

Desenvolver sua capacidade de dedução e raciocínio lógico;

Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

Perceber e compreender o inter-relacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVO DA DISCIPLINA: Propiciar ao aluno condições de:

Dominar e aplicar os conceitos relativos às funções de uma variável complexa.

1. Números complexos.
1. Introdução histórica, solução da equação de 3º grau.
2. Aritmética dos números complexos e representação geométrica.
3. Forma trigonométrica dos números complexos, fórmulas de De Moivre.
4. Forma exponencial dos números complexos.
5. Geometria no plano complexo.
2. Seqüências de números complexos.
1. Noções fundamentais da topologia do conjunto dos números complexos.
2. Convergência de seqüências no conjunto dos números complexos.
3. Limites no infinito, plano complexo estendido.
4. A esfera de Riemann.
3. Funções de uma variável complexa.
1. Funções de uma variável complexa, domínios, limites, continuidade.
2. Exemplos de funções complexas de variável complexa: polinômios, transformação de Möbius, raízes n-ésimas.
3. Derivação de funções complexas, funções holomorfas, condições de Cauchy-Riemann.
4. Estudo das funções elementares

1. Funções polinomiais e racionais.
2. Transformação de Möbius e inversão.
3. Séries de potências.
4. Funções exponenciais e trigonométricas.
5. Função logaritmo, domínio (ramo).
6. Funções raiz n-ésima, domínios
7. Aplicações conformes.

4. Integração no plano complexo.

4. Integrais de linha no conjunto dos números complexos.
5. Teorema de Cauchy e aplicações.
6. Fórmula integral de Cauchy, analiticidade.
7. Teorema de Liouville, teorema fundamental da álgebra, princípio do módulo máximo, teorema da aplicação aberta.
8. Séries de Laurent.
9. Classificação de singularidades.
10. Teorema do resíduo e aplicações.

5. Tópicos adicionais.

1. Geometria das transformações conformes.
2. Aplicações das transformações conformes.
3. Continuação analítica.
4. Introdução às superfícies de Riemann.

METODOLOGIA: O programa será desenvolvido através de aulas e exposições individuais por parte dos alunos.

AVALIAÇÃO: Serão realizadas 03 provas escritas.

A média semestral será obtida pela média aritmética das notas obtidas no semestre.

Será aprovado que aluno que obtiver média semestral maior ou igual a 6,0. O aluno com média semestral maior ou igual a 3 e menor ou igual a 5,5 poderá fazer uma avaliação final abrangendo todo o conteúdo ministrado. A nota final desse aluno será obtida pela média aritmética entre a média semestral e a nota da avaliação final.

1. Alhfors, L.V., Complex analysis, 2^nded, Mc Graw-Hill , New York, 1966.
2. Colwell, P, and Mathews, J. C., Introdução às Variáveis Complexas, Edgard Blücher Ltda, 1976.
3. Marsden, J.E. e Hoffman, M. J., Basic complex analysis, 2 th ed., W. H. Freeman and Company, New York, 1973.
4. Churchill, V. R and Brown, W. J., Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, 5 th ed., New York, 1990.
5. Spiegel, M. R., Theory and Problems of Complex Variables, (Schaum’s Outline Series), New York, Schaum Publishing, 1990.

Florianópolis, 17 de dezembro de 2004.

Coordenador da disciplina