UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PLANO DE MTM 5865 - CÁLCULO VARIACIONAL

 

PRÉ-REQUISITO(S): MTM5863 e MTM 5872

Nš DE HORAS-AULAS SEMANAIS: 06

Nš TOTAL DE HORAS AULA: 108

SEMESTRE: 2005.1

CURSO(S): Matemática, habilitação: Bacharelado em Matemática e Computação Científica

PROFESSOR: L.A SAEGER

EMENTA: Princípio de Fermat. Princípio de Maupertuis. Equação de Euler-Lagrange. Exemplos de aplicações do princípio variacional. Formulações Lagrangeana e Hamiltoniana da Mecânica Clássica. Problemas variacionais com vínculos. Formulação variacional de meios contínuos e Teoria Clássica de Campos. Formulação variacional de problemas de auto-valores. Princípio variacional e Mecânica Quântica.

OBJETIVOS DO CURSO: Propiciar ao aluno condições de:

- Desenvolver sua capacidade de dedução;

- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

- Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

- Perceber e compreender o inter-relacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

- Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVO DA DISCIPLINA: Propiciar ao aluno condições de:

- Dominar e aplicar os conceitos relativos ao cálculo com funcionais em espaços de funções.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1- Introdução.

1.1- Motivação e origens históricas

1.2- Princípio de Fermat na ótica.

1.3- Problemas variacionais clássicos.

1.3.1- Problema da Braquistócrona.

1.3.2- Problema da Geodésica.

1.3.3- Problema de Plateau de superfícies mínimas.

1.3.4- Problemas isoperimétricos.

1.4- Princípios de mínima ação de Maupertuis e Hamilton.

2- Cálculo Funcional

2.1- Espaços de funções.

2.2- Funcionais lineares em espaços de funções.

2.3- Derivação de funcionais.

2.4- Minimização de funcionais. Equações de Euler-Lagrange.

3- Problemas Variacionais

3.1- Variação de funcionais com extremidades fixas.

3.2- Exemplos: Braquistócrona, Geodésica, equações de movimento em Mecânica Clássica.

3.3- Variação de funcionais com extremidades sobre curvas ou superfícies.

3.4- Exemplos: Superfícies mínimas, problemas isoperimétricos.

3.5- Problemas mecânicos com vínculos.

4- Forma canônica das equações de Euler-Lagrange.

4.1- Equações de Hamilton.

4.2- Transformações de Legendre.

4.3- Transformações Canônicas.

4.4- Teorema de Noether, leis de conservação em Mecânica Clássica.

4.5- Equação de Hamilton-Jacobi.

5- Segunda variação, extremos fracos e fortes.

5.1- Funcionais quadráticos.

5.2- Segunda variação de um funcional.

5.3- Condições de extremos fracos.

5.4- Pontos conjugados

5.5- Condições de extremos fortes.

6- Formulação variacional da Teoria de Campos Clássica

6.1- Variação de funcionais envolvendo integrais múltiplas em regiões fixas.

6.2- Sistemas mecânicos contínuos: Corda vibrante, Membrana vibrante.

6.3- Variação de funcionais em regiões variáveis.

6.4- Teorema de Noether para campos.

6.5- Teoria Clássica de Campos

6.5.1- Exemplos de ações: Equação de onda, Klein Gordon, Eletromagnetismo.

6.5.2- Leis de conservação, Tensor Energia-Momento, Momento Angular.

7- Métodos variacionais diretos.

7.1- Minimização de seqüências.

7.2- Método de Ritz e método de diferenças finitas.

7.3- Problema de Sturm-Liouville.

8- Algumas aplicações

8.1- Propagação de perturbações.

8.2- Problemas de controle ótimo.

8.3- Mecânica Quântica.

METODOLOGIA: O conteúdo programático será desenvolvido através de aulas expositivas sobre o conteúdo teórico e de aulas práticas de exercícios.

AVALIAÇÃO: A média M será obtida de

M = (P1 + P2 + T)/3,

onde P1 e P2 são as notas de duas provas escritas obrigatórias, respectivas aos itens 1 a 3, 4 e 5 e 6 e 7, respectivamente, do conteúdo programático e T é a nota de um trabalho oral sobre um dos subitens do item 8 do conteúdo. Estará aprovado o aluno com freqüência suficiente que obtiver média M maior ou igual a 5,75, segundo o Art. 72 da Resolução nš 17/Cun/97. O aluno com freqüência suficiente que apresentar média M menor que 5,75 e maior ou igual a 3,0 terá direito a realizar um exame final, sobre todo o conteúdo, conforme o que dispõe o §2 do Art. 70 da Resolução nš 17/Cun/97. Neste caso, a média para ser aprovado, Mf, será dada pela fórmula

Mf = (M + E)/2,

onde E é a nota do exame final, segundo o §3 do Art. 71 da mesma resolução.

BIBLIOGRAFIA

  1. Arnolīd V.I. "Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica", Mir, 1987.

  2. Butkov E. "Física Matemática", Guanabara Dois, 1968.

  3. Cartan, H. "Cours de Calcul Différentiel", Hermann, 1977.

  4. Courant, R.; Hilbert, D. "Methods of Mathematical Physics", New York: Interscience, 1953, vol.1.

  5. Gelfand I.M.; Fomin S.V.: "Calculus of Variations", Prentice Hall, 1963.

  6. Goldstine H.H. "A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th century", Springer Verlag, 1980.

  7. Lanczos C. "The Variational Principles of Mechanics", Univ. of Toronto Press, 1970.

  8. Leitão A.C.G. "Cálculo Variacional e Controle Ótimo", 23š CBM, IMPA, 2001.

  9. Morse, P. Mc.; Feshbach, H. "Methods of Theoretical Physics". New York: McGraw-Hill, 1953, vol.1.

  10. Sudarshan, E.C.G.; Mukunda, N. "Classical Dynamics: A Modern Perspective", John Wiley & Sons, 1974.

  11. Troutman J.L. "Variational Calculus and Optimal Control", 2nd Ed. Springer Verlag, 1996.

  12. Yourgrau W.; Mandelstam S. "Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory", Dover, 1968.

 

Florianópolis, 14/02/05

L. A Saeger (coordenador)