DISCIPLINA: Métodos de Física Matemática II

CÓDIGO: MTM 5172

PRÉ-REQUESITO:

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108

CURSO ALVO: Física

SEMESTRE: 2005.2

PROFESSOR: Félix Pedro Quispe Gómez

EMENTA: Equações diferenciais parciais de segunda ordem do tipo: hiperbólico, parabólico e elíptico. Separação de variáveis. Método de Frobenius. Funções de Green. Funções especiais: Polinômios de Legendre e Hermite, harmônicos esféricos, funções de Bessel, de Laguerre e hipergeométricas.

OBJETIVOS: O aluno deverá ser capaz de:

1. Classificar em tipos as EDP's lineares com coeficientes constantes em duas variáveis independentes;

1. Identificar e resolver problemas da Física-Matemática que envolvem as EDP’s do calor, de

3. Resolver equações diferenciais ordinárias lineares a coeficentes variáveis decorrentes dos

vários tipos de EDPs, e os problemas de autovalores associados;

4. Utilizar propriedades de funções especiais na resolução de problemas de contorno;

5. Resolver problemas de contorno pelo método da função de Green.

I - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE 2^a ORDEM

1. Classificação e formas canônicas para EDPs a coeficientes constantes;
2. Soluções por separação de variáveis (em vários sistemas de coordenadas);
3. Equação de Cauchy-Euler e Método de Frobenius para EDOs a coeficientes variáveis, (ex.: a equação hipergeométrica de Gauss);
4. Teoria de Sturm-Liouville e problemas de auto-valores;
5. Método da função de Green para problemas (não) homogêneos.

II - EQUAÇÕES DO TIPO PARABÓLICO

1. Equação da propagação do calor unidimensional e problemas de contorno e valor inicial

2. Resolução por separação de variáveis e expansão em autofunções;

3. Problemas em domínios não limitados;

4. Equações não homogêneas: noções do método de variação dos parâmetros;

4. Considerações sobre existência e unicidade de soluções.

III – EQUAÇÕES DO TIPO HIPERBÓLICO

1. Modelo matemático para a corda vibrante - a equação da onda unidimensional;

2. Separação de variáveis, expansão em autofunções;

2. Propriedades físicas (energia, freqüência, amplitude, harmônicos);
3. Considerações sobre unicidade;

2. Equação da onda bidimensional em coordenadas polares, funções de Bessel e propriedades;

2. Equação da onda tridimensional em coordenadas esféricas, funções de Bessel esféricas e propriedades;

IV - EQUAÇÕES DO TIPO ELÍPTICO

1. Equação de Laplace em problemas de Dirichlet e de Neumann;

2. Problemas bidimensionais em coordenadas cartesianas e polares;

2. Problemas tridimensionais em coordenadas cilíndricas (funções de Bessel.)

2. Problemas tridimensionais em coordenadas esféricas, propriedades gerais dos polinômios de Legendre e dos harmônicos esféricos;

5. Funções harmônicas: fórmulas de Green, representação integral, principio de

máximo-mínimo e teoremas de unicidade para problemas de Dirichlet e de Neumann;

6. Equação de Schrödinger independente do tempo para o oscilador harmônico unidimensional (polinômios de Hermite e propriedades) e para o oscilador harmônico tridimensional isotrópico (polinômios de Laguerre e propriedades).

METODOLOGIA: O conteúdo programático será desenvolvido através de aulas expositivas

CRONOGRAMA DAS PROVAS:

Prova 1: 31/08 Prova 2: 30/09

Prova 3: 01/11 Prova4-Rec: 02/12

AVALIAÇÃO: A média final será a média aritmética das três (03) provas.

Estará aprovado o aluno com freqüência suficiente que obtiver média M maior ou igual a 6,0 (seis), segundo o artigo 72 da Resolução nº 17/Cun/97. O aluno com freqüência suficiente que apresentar média M menor que 6,0 (seis) e maior ou igual a 3,0 (três), terá direito a realizar um exame final, sobre todo o conteúdo, conforme o que dispõe o §2 do artigo 70 da Resolução nº 17/Cun/97. Nesse caso, a média final para a aprovação, MF, será dada pela fórmula MF = (M + E)/2,

onde E é a nota do exame final, segundo o §3 do artigo 71 da mesma resolução.

BIBLIOGRAFIA:

1. V. IÓRIO, Equações Diferenciais Parciais - Um Curso de Graduação, Coleção Matemática,

Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 199

2. D.G. de FIGUEIREDO, Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1977.

3. Gómez, Félix, Notas de Matemática Superior, FPQG, Florianópolis, 2005.

4. E. BUTKOV, Física Matemática, Guanabara Dois, 1978.

6. W. BOYCE e R. DiPRIMA, Elementary Differential Equations and Boundary Value

Problems, 3^rd ed., John Wiley & Sons, New York, 1977.

7. Rivera Muñoz, Jaime E., Introdução as Equações Diferenciais Parciais, Textos Avanzados,

Florianópolis, 23 de julho de 2004.

Prof. Félix pedro Quispe Gómez, Dr.