DISCIPLINA: Álgebra II

SEMESTRE: 2005/2

Nº DE AULAS POR SEMANA: 06

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108

PRE-REQUISITO: MTM 5261

PROFESSOR: Oscar Ricardo Janesch

CURSOS: Bacharelado em Matemática e Computação Científica

OBJETIVOS DO CURSO: Propiciar ao aluno condições de:

- Desenvolver sua capacidade de dedução;

- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

- Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

- Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

- Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVO DA DISCIPLINA:

Propiciar ao aluno condições de trabalhar com a estrutura de grupo aplicando resultados relevantes da teoria.

II - CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1. Grupos e Subgrupos

• Definição de grupo e grupo abeliano. Propriedades elementares de um grupo.
• Exemplos de grupos.
• Raízes da Unidade.
• O grupo S_n.
• Grupo de Rotações.
• Grupos Diedrais.
• Definição de subgrupo, e condições equivalentes a definição.
• Exemplos.
• Determinação dos subgrupos de Z.
• Subgrupo gerado por um conjunto e grupos cíclicos.
• Ordem de elemento e suas propriedades.

1. Classes Laterais e o Teorema de Lagrange

• Definição das classes laterais do subgrupo H do grupo G. Relações de equivalência (à direita e à esquerda) definidas por H em G.
• A partição formada pelas classes de equivalência.
• Cálculo de classes laterais.
• Cardinalidade das classes laterais e a definição de índice.
• Teorema de Lagrange e seus corolários. Pequeno teorema de Fermat.

1. Subgrupos Normais e Grupos Quociente

• Definição de subgrupo normal. Exemplos de subgrupos normais.
• Operações entre classes laterais.
• Grupo Quociente.
• Cálculo de elementos do grupo quociente.
• Propriedades.
• Subgrupo dos Comutadores.

1. Homomorfismos de Grupos

• Definição e exemplos.
• Propriedades: imagem do elemento neutro, do inverso de elemento, de um subgrupo. Composição de homomorfismos, etc.
• Definição de núcleo, normalidade do núcleo, caracterização da injetividade pelo núcleo.
• Propriedades da imagem inversa.
• Teorema dos homomorfismos e seus corolários.
• Teorema da Correspondência.
• Correspondência 1-1 entre subgrupos de G que contém H e subgrupos de G / H.
• O grupo dos automorfismos, subgrupo dos automorfismos internos.
• Classificação, via isomorfismo, dos grupos cíclicos finitos e infinitos.
• Subgrupo Característico.

1. Grupos de Permutações e o Teorema de Cayley

• Demonstração do Teorema de Cayley.
• Elementos notáveis de S_n: r-ciclos (comprimento e ordem), ciclos disjuntos, transposições.
• Fatoração de um elemento não trivial de S_n como produto de ciclos disjuntos.
• Geradores de S_n.
• Permutação par e permutação ímpar.
• Propriedades do grupo A_n.
• Grupos Simples: definição, exemplos e propriedades
• Teorema de Cauchy.
• Equações das Classes de conjugação

1. Teorema de Sylow (aplicações)

• Aplicações dos Teoremas de Sylow.
• Existência de subgrupos de ordem potência de primo e quantidade de tais subgrupos.
• Exemplos.
• Estudo dos grupos simples de ordem menor que 60.

1. Grupos Solúveis

• Definições e exemplos.
• Um grupo simples é solúvel se, e só se, é abeliano
• Solubilidade dos p-grupos.
• Resultados sobre solubilidade.

III - METODOLOGIA

O conteúdo será desenvolvido através de aulas expositivas.

IV - AVALIAÇÃO

Serão realizadas 4 provas escritas. A nota final será a média aritmética destas 4 notas. Será aprovado o aluno com freqüência suficiente que tiver nota final maior ou igual a 6,0(seis).

V - RECUPERAÇÃO

De acordo com a Resolução 17/CUn/97, Art. 70, § 2, o aluno com freqüência suficiente e média das notas de avaliação do semestre entre 3,0 e 5,5, terá direito a uma nova avaliação. Neste caso a nota final será calculada, segundo o art. 71, § 3^o , através da média das notas das avaliações parciais e a nota obtida na avaliação estabelecida no citado parágrafo.

VI – BIBLIOGRAFIA

1. Domingues, H. H. - Álgebra Moderna, 2ª ed., Atual Editora Ltda, SP, 1982.
2. Garcia, A. e Lequain, Y. – Álgebra: um curso de introdução, IMPA, RJ, 2002.
3. Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, IMPA, RJ, 1999.
4. Hefez, A. - Curso de Álgebra, vol. I, Coleção Matemática Universitária, IMPA/CNPq, RJ, 1993.
5. Herstein, I. - Tópicos de álgebra, Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono., 1970.
6. Monteiro, L. H. J. - Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos, RJ, 1978.

Florianópolis, 29 de junho de 2005.

Oscar Ricardo Janesch