UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PLANO DE ENSINO

DISCIPLINA: Análise II

CÓDIGO: MTM 5317

PRÉ-REQUISITO: MTM 5316

SEMESTRE: 2005/2

Nş DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06

Nş TOTAL DE HORAS-AULA: 108

CURSO: Bacharelado em Matemática

PROFESSOR: Joel Santos Souza

OBJETIVOS: Ao final do semestre o aluno deverá estar apto a:

I - Trabalhar com diferenciação de funções vetoriais no espaço euclidiano n-dimensional IRn, bem como conhecer e saber aplicar os teoremas da função inversa e da função implícita. Trabalhar com as Integrais de Riemann e Lebesgue em IRn, mostrando conhecer os conceitos e as técnicas empregadas na resolução de problemas. Conhecer as principais propriedades dos espaços Lp (Ω), para Ω um conjunto mensurαvel do IRn .

II – Escrever, de forma clara e objetiva, seu raciocínio em desenvolvimentos teóricos e na resolução de problemas sobre todo o conteúdo.

 

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1Ş Unidade: - Diferenciação de funções de IRn em IRm.

    1. – Definição e Propriedades. Gradientes. Derivadas direcionais. Derivadas parciais. Funções Diferenciáveis. Matriz Jacobiana. Condições para diferenciabilidade.

    2. - Derivadas de ordem superior.

    3. - Regra da Cadeia.

    4. - Teorema do valor médio para funcionais reais. Desigualdade do valor médio. Teorema de Schwarz (simetria de derivadas mistas).

    5. - Teorema da função implícita. Aplicações.

    6. - Teorema da função inversa Aplicações.

    7. - Teorema de Taylor.

    8. - Máximos e mínimos. Matriz Hessiana.

2Ş Unidade: - Integral de Riemann.

2.1 – Somas inferiores e superiores: Propriedades. Funções Integráveis em domínios do

IRn . Condição de Riemann. Condição de Darboux.

2.2 - Conjuntos de medida nula em IRn

2.3 - O Teorema de Lebesgue. Caracterização de Funções integráveis à Riemann.

Conseqüências. Relação medida da fronteira X integrabilidade.

2.4 - Propriedades da Integral.

2.5 - Integrais Impróprias

2.6 - Teoremas de Convergência.

2.7 - Teorema de Fubini. Teorema da mudança de variáveis.

2.8 - Coordenadas Polares, Cilíndricas e Esféricas.

2.9 - Regra da Substituição.

2.10 - Derivação sob o sinal de integração

3Ş Unidade: - Integral de Lebesgue.

3.1 - Medida Exterior de Lebesgue no Espaço n-Dimensional IRn

3.2 - Conjuntos Mensuráveis e Funções Mensuráveis. Propriedades.

3.3 - Medidas. A Medida de Lebesgue no IRn .

3.4 - Conjuntos de medida nula. Conjunto de Cantor.

3.5 - Conjunto Generalizado de Cantor.

3.6 - Conjuntos borelianos.

3.7 - Existência de Conjuntos não Mensuráveis. Teorema de Vitali. Existência de

Funções não Mensuráveis.

3.8 - Outras Caracterizações de Conjuntos Mensuráveis. Teorema de

Caractheodory.

3.9- Funções simples. Integral de Lebesgue de Funções Simples.

3.10- Integral de Lebesgue de Funções Mensuráveis Positivas.

3.11- Teorema de Egoroff. Lema de Fatou. Teorema da Convergência Monótona.

3.12- Integral de Lebesgue de Funções Mensuráveis.

3.13- Propriedades da Integral de Lebesgue.

3.14- Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue.

3.15- Integral de Lebesgue X Integral de Riemann.

3.16- Espaço Lp (Ω) das Funηões mensuráveis p-integráveis, 1£ p<¥ . Propriedades.

3.17 - Espaço das Funções mensuráveis essencialmente limitadas. Propriedades.

METODOLOGIA:

O conteúdo será desenvolvido através de aulas expositivas e aulas de exercícios, bem como através de listas de exercícios e problemas para serem resolvidos extra-classe.

AVALIAÇÃO:

Através de 4 (quatro) provas escritas. A nota final será a média aritmética dessas 4 notas. O aluno cuja média M ficar entre: 3≤M < 6 e tiver freqüência suficiente terá direito a uma prova de recuperação. A nota final desse aluno será a média entre M e a nota obtida na recuperação.

Provas escritas:

1Ş Prova: Unidade 1 até o item 1.4 – referência [1] – 31/08.

2Ş Prova: Unidade 1, do item 1.5 até o final da Unidade – referência [1] – 29/09.

3Ş Prova: Unidade 3 – referência [1] – 27/10.

4Ş Prova: Unidade 3 – referência [5] – 29/11.

 

BIBLIOGRAFIA

[1] J. MARSDEN - M. J. Hoffman; Elementary Classical Analysis,

W. H. Freeman, New York (1974).

[2] H. L. ROYDEN, Real Analysis, MacMillan (1968).

[3} M. SPIVAK, Calculus on Manifolds, New York, 1965.

[4] W. RUDIN, Princípios de Analise Matemática, Ao Livro Tecnico e UNB,

Rio de Janeiro (1971).

[5] C.S. HONIG; A Integral de Lebesgue e suas Aplicações, IMPA, Rio de

Janeiro (1977).

[5] S.B. CHAE; Lebesgue Integration, Sec.Ed., Springer-Verlag, New York -

Berlim - Heiderber (1994).

[6] C. W. GROETSCH, Elements of Aplicable Functional Analysis, Marcel Dekker, New

York and Basel (1980), Chapter VII.

[7] R.L WHEEDEN, A ZYGMUND – Measure and Integral: An introduction to Real

Analysis, M. Dekker Inc., N. York and Basel (1977).

 

Florianópolis, 11 de julho de 2005.