UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PLANO DE ENSINO
Código: MTM 5629 -
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAISPRÉ-REQUISITO(S): MTM 5628
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06
Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108
SEMESTRE: 2005/2
Professor: Ruy Coimbra Charão
CURSO(S): Matemática, habilitação: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA:
Conceitos gerais. Equações lineares com coeficientes constantes. Classificação. Equação do calor. Método de expansão em autofunções. Problemas não-homogêneos. Séries de Fourier. Equação da corda vibrante. Problemas em intervalos infinitos e semi-infinitos: Fórmulas integrais de Fourier. Problemas em duas ou mais variáveis espaciais. Equação de Laplace: problemas de Dirichlet e Neumann em dimensão 2. Fórmula de Poisson. Princípio do Máximo.
OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:
1 - Desenvolver sua capacidade de dedução.
2 - Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3 - Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4 - Desenvolver seu espírito crítico e criativo
5 - Perceber e compreender o inter-relacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
6 - Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Desenvolver a teoria elementar clássica de equações diferenciais parciais, analisando com rigor algumas técnicas utilizadas no estudo de propriedades de soluções de equações lineares ou semilineares de segunda ordem
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1 - CONCEITOS GERAIS:
1.1. Conceitos básicos: definição, ordem, linearidade, solução.
1.2. Classificação em tipos: lineares, não-lineares e semilineares, elípticas, hiperbólicas e parabólicas; forma normal ou Canònica.
1.3. Condições de contorno e valores iniciais
1.4. Problema bem posto no sentido de Hadamard
2 - EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM:
2.1 Equações lineares com coeficientes constantes.
2.2 Método das características
3 - SÉRIES DE FOURIER:
3.1. Funções periódicas
3.2. Coeficientes de Fourier
3.3. Séries de Fourier de funções pares e ímpares
3.4. Forma complexa da série de Fourier
3.5. Lema de Riemann-Lebesgue
3.6. Convergência pontual
3.7. Desigualdade de Bessel
3.8. Convergência Uniforme
3.9. Identidade de Parseval
4 - EDP’s EM DOMÍNIOS LIMITADOS : -
4.1. Método de separação de variáveis - Método de Fourier
4.2. Equação do Calor; Propriedades.
4.3. Equação da corda vibrante; Equação do calor e da onda em 2 e 3 dimensões.
4.4. Equação de Laplace: em um retângulo, em um disco, em um cilindro e em uma esfera; problemas
de Dirichlet e Neumann.
4.5. Fórmula de Poisson
4.6. Princípio do máximo para a equação de Laplace
4.7. Problemas homogêneos e não homogêneos: método da variação dos parâmetros.
4.8. Considerações sobre existência e unicidade de soluções.
4.9. Problema de Sturm-Liouville e problema de autovalores.
5 - TRANSFORMADA DE FOURIER:
5.1. Definição
5.2. A transformada em L1
5.3. O espaço Schwarz; Propriedades
5.4 Transformada de Fourier no espaço de Schwarz
5.5. Produto convolução
5.6. Transformada seno e cosseno
6 - EDP’s EM DOMÍNIOS NÃO LIMITADOS:
6.1. Equação do calor
6.2. Equação da onda
6.3. Fórmula de D’Alembert
6.4. Fórmula de Kirchoff
METODOLOGIA:
Aulas expositivas e de exercícios e tarefas extra-classe onde os alunos são estimulados a propor suas próprias soluções para os exercícios e problemas propostos.
AVALIAÇÃO:
Através de quatro provas escritas a serem aplicadas ao longo do semestre. A nota final será a média aritmética das quatros notas obtidas nessas provas. O aluno que obtiver média inferior a seis, mas não inferior a três, e tiver freqüência suficiente, terá direito a uma prova de recuperação no final do semestre que versará sobre conteúdo do curso. A nota final do aluno que fizer recuperação será calculada em acordo com a legislação desta universidade.
BIBLIOGRAFIA:
1 - ANDRADE, N. G. e MEDEIROS, L. A - Iniciação às Equações Diferenciais Parciais (LTC 1978).
2 - BERG, P. W. & McGREGOR, J. L.; Elementary Partial Differential Equations, Holden-Day, Series in Mathematics S. Francisco, (1966).
3 - W. BOYCE, R.C. DIPRIMA, "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems", John Wiley, 1969.
4 - CHURCHILL, RUEL V, "Fourier Series and boundary Value Problems", International Student Edition, 2ª edição, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1963.
5 - H.F. DAVIS "Fourier Series and Orthogonal Functions", Dover, 1963.
6 - DE FIGUEIREDO, D. G.; Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Projeto Euclides - IMPA (1987).
7 - FRITZ JOHN; Partial Differential Equations, Spring-Verlag, 4ª Edição (1982).
8 - IÓRIO JR., R. & IÓRIO, V. M. Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução; Projeto Euclides - IMPA (1988).
9 - IÓRIO, V. M.; EDP um Curso de Graduação, IMPA (1991).
10 - E. KREYSZIG, "Matemática Superior", vol. 1 e 3, LTC, 1969.
11 - ZACHMANOGLOU; Introduction to Partial Differential Equations with applications, Dover Publications.
Prof. Ruy Coimbra Charão