1. PLANO DE ENSINO

 

DISCIPLINA: Métodos de Física-Matemática I

CÓDIGO: MTM 5173

PRÉ-REQUISITO: MTM 5118

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 04

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 72 (68 efetivas)

SEMESTRE: 2006.1

CURSO: Física

PROFESSOR: Joel Santos Souza

 

EMENTA: Séries de Fourier. Transformadas de Fourier e de Laplace e aplicações. Funções eulerianas (Gama e Beta). Noções da teoria de distribuições (função Delta de Dirac). Introdução aos espaços de Hilbert e à notação de Dirac (bras e kets).

 

OBJETIVOS: Propiciar que o aluno familiarize-se com as propriedades básicas das séries e transformadas de Fourier e da transformada de Laplace e seu uso em EDOs, assim com as propriedades da "função" delta de Dirac e das funções Gama e Beta. Apresentar os conceitos básicos de espaços de Hilbert e aplicações.

 

PROGRAMA:

I - TRANSFORMADAS DE LAPLACE E APLICAÇÕES

  1. Transformada de Laplace: definição e existência, propriedades básicas, transformadas de funções elementares;

  2. Transformada inversa de Laplace;

  3. Transformadas de derivadas, integrais e funções periódicas, teoremas de deslocamento,

  4. Aplicação em problemas de valor inicial envolvendo EDO’s;

  5. Teorema da convolução e aplicações a EDO’s não homogêneas.

II - SÉRIES E TRANSFORMADAS DE FOURIER

1. Funções periódicas e séries trigonométricas, definição de série de Fourier;

2. Séries de seno- e cosseno-Fourier; forma complexa;

3. Considerações sobre convergência, identidade de Parseval e fenômeno de Gibbs;

4. Transformada de Fourier e sua inversa;

5. Transformada seno- e cosseno-Fourier;

6. Teorema da convolução; Teorema de Plancherel;

7. Transformada de Fourier em espaços de Schwartz (decrescimento rápido).

III - ELEMENTOS DA TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES

  1. Definição da função Delta de Dirac e propriedades fundamentais;

  2. Identidades básicas para cálculo;

  3. A função Delta em 2 e 3 dimensões e em vários sistemas de coordenadas;

  4. Representação integral e outras representações;

  5. Função de Heaviside;

 

IV - FUNÇÕES EULERIANAS

  1. Definição integral da função Gama;

  2. Propriedades básicas, fatorial, gráfico, derivada logarítmica (função digrama);

  3. Fórmula de Stirling;

  4. Definição e propriedades da função Beta.

V - ESPAÇOS DE HILBERT

  1. Espaços métricos, funções contínuas, seqüências, convergência, seqüências de Cauchy, espaços completos;

  2. Espaços vetoriais normados e com produto interno, espaços de de Hilbert;

  3. Seqüências e bases ortonormais (ex.: séries de Fourier), espaços separáveis.

 

METODOLOGIA: O conteúdo programático será desenvolvido através de aulas expositivas sobre o conteúdo teórico e de aulas práticas de exercícios. Eventualmente, algum trabalho escrito poderá ser exigido para complementar a nota de uma prova.

CRONOGRAMA de PROVAS:

P1: item I – 30/05

P2: item II – 27/06

P3: itens III e IV – 25/07

P4: item V – 22/08

E: Exame Final– 24/08

AVALIAÇÃO: A média M será obtida de

M = {(P1 + P2 + P3 + P4)*9 + L}/10,

onde P1, P2, P3 e P4 são provas escritas obrigatórias, referentes às cinco áreas do programa como indicadas no cronograma, e L é a nota referente às listas de exercícios . Estará aprovado o aluno com freqüência suficiente que obtiver média M maior ou igual a 5,75, segundo o Art. 72 da Resolução nº 17/Cun/97. O aluno com freqüência suficiente que apresentar média M menor que 5,75 e maior ou igual a 2,75 terá direito a realizar um exame final, sobre todo o conteúdo, conforme o que dispõe o §2 do Art. 70 da Resolução nº 17/Cun/97. Neste caso, a média para ser aprovado, MF, será dada pela fórmula

MF = (M + E)/2,

onde E é a nota do exame final, segundo o §3 do Art. 71 da mesma resolução.

 

BIBLIOGRAFIA

  1. G. ARFKEN, "Mathematical Methods for Physicists", Academic Pr., 1985.

  2. J. BELLANDI FILHO, "Funções Especiais" , Papirus, 1986.

  3. N. BOCCARA, "Functional Analysis, an Introduction for Physicists", Academic Press, 1990.

  4. W. BOYCE, R.C. DIPRIMA, "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems", John Wiley, 1969.

  5. E. BUTKOV, "Física Matemática", LTC Editora, 1988.

  6. R.V. CHURCHILL, "Fourier series and boundary value problems", 2a ed., McGraw-Hill, 1963.

  7. C. COHEN-TANNOUDJI, B. DIU, F. LALOË, "Quantum Mechanics", vol. I, John Wiley / Hermann, 1977.

  8. H.F. DAVIS "Fourier Series and Orthogonal Functions", Dover, 1963.

  9. D.G. DE FIGUEIREDO, "Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais", Projeto Euclides, IMPA - CNPq, Rio de Janeiro, 1987.

  10. I.M. GELFAND, G.E. SHILOV, "Generalized Functions". Academic Press, 1964.

  11. D.L. KREIDER, et al. "Introdução à Análise Linear", vol1 e vol.3, Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1972.

  12. E. KREYSZIG, "Introductory Functional Analysis with Applications", John Wiley, 1989

  13. E. KREYSZIG, "Matemática Superior", vol. 1, LTC, 1969.

  14. J. MATHEWS, R.L. WALKER, "Mathematical Methods of Physics", 2a ed., W. A. Benjamin, 1970.

  15. M. REED, B. SIMON, "Methods of Modern Mathematical Physics", vol. I e II, Academic, 1972.

  16. L. SCHWARTZ, "Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques", Hermann, 1979. (tem também a versão inglesa)

  17. M.R. SPIEGEL, "Transformadas de Laplace; resumo da teoria", McGraw-Hill, 1971.

  18. M.R. SPIEGEL, "Cálculo Avançado". Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill, Ltda, 1971.

  19. J. THAYER, "Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais", Projeto Euclides, IMPA-CNPq, Rio de Janeiro, 1987.

 

Florianópolis, 18 de abril de 2006.

Joel Santos Souza

MTM, sala 319

jsouza@mtm.ufsc.br