DISCIPLINA: Cálculo IV

CÓDIGO: MTM 5178

PRÉ-REQUISITO: MTM 5177

SEMESTRE: 2006/1

Nº DE HORAS-AULA SEMANAL: 04

TOTAL DE HORAS-AULA: 72

CURSO: Engenharia Elétrica

PROFESSOR: Luciano Bedin

EMENTA: Equações diferenciais ordinárias de ordem n com coeficientes constantes. Alguns exemplos especiais de equações diferenciais lineares com coeficientes não constantes (Método de Frobenius). Transformada de Laplace. Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares. Séries de Fourier e equações diferenciais parciais.

OBJETIVOS:

1. Identificar e resolver equações diferenciais ordinárias de odem n com coeficientes constantes.

2. Usar o Método da Variação dos Parâmetros para resolver equações diferenciais ordinárias com coeficientes

variáveis.

3. Utilizar a Transformada de Laplace para resolver equações diferenciais odinárias.

4. Identificar sistemas de equações diferenciais ordinárias e resolver problemas.

5. Desenvolver funções em séries de Fourier e testar a convergências dessas séries.

6. Identificar e solucionar problemas de equações diferenciais parciais lineares usando o Método de Fourier

(Separação de Variáveis).

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

Unidade 1 – Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Lineares de ordem n

1. Forma normal, solução, homogeneidade e notação de operadores.

2. Equações lineares de primeira ordem, circuito RL, equação de Bernoulli.

3. Problema de valor inicial, espaço solução, Wronskiano e Fórmula de Abel.

4. Equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes: ordem 2 e ordem arbitrária.

5. Método da Variação dos Parâmetros.

6. Método dos Coefientes a Determinar.

7. As equações de Euler-Cauchy, de Legendre e de Bessel.

8. Circuitos RLC.

Unidade 2 – Transformada de Laplace.

2.1. Definição, linearidade, existência e fórmulas elementares.

2. Transformada Inversa.

3. Transformadas de derivadas e integrais.

4. Teoremas de deslocamento e da Convolução.

5. Solução de problemas de valor inicial, Ciircuito RLC com fonte descontínua.

Unidade 3 – Sistemas de EDO Lineares de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes

1. Forma geral , exemplos: sistemas mecânicos e redes elétricas, dependência linear de soluções, matrizes fundamentais, Fórmula de Abel.

2. Método de autovalor para sistemas lineares homogêneos.

3. Exponencial de uma matriz e sistemas lineares.

4. Sistemas linares não homogêneos: variacão dos parâmetros.

5. Matrizes similares e a Forma Canônica de Jordan.

6. Redução de uma EDO de ordem n a um sistema de EDO de primeira ordem.

Unidade 4 – Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais (EDP)

1. Coeficientes de Fourier e expansão de funções em séries de Fourier.

2. Convergência pontual da série de Fourier (Teorema de Fourier).

3. Séries em senos e em cossenos.

4. Mudança de intervalo.

5. Convergência uniforme da série de Fourier, Identidade de Parseval.

6. Problemas de contorno para EDO (Problemas de Sturm-Liouville).

7. EDP: definição, linearidade, exemplos.

8. A equação da onda unidimensional, solução de d’Alembert e método da separaçao de variáveis, problemas de contorno para a equação da onda.

9. Problemas de contorno para a equação do calor unidimensional.

METODOLOGIA:

O conteúdo será desenvolvido através de aulas expositivas e dialogadas, com a participação dos alunos.

AVALIAÇÃO:

A avaliação será feita através de três provas no decorrer do semestre. A nota final será a média aritmética simples das três provas. O aluno com frequência suficiente, com nota maior ou igual a seis estará aprovado.

O conteúdo para cada prova escrita poderár ser assim distribuído:

1ª Prova – Unidade 1

2ª Prova – Unidades 2 e 3

3a Prova – Unidade 4

PROVA FINAL:

O aluno com frequência suficiente e média maior ou igual a três (3,0) e menor ou igual a cinco vírgula cinco (5,5), terá direito a realizar uma prova final sobre todo o conteúdo, conforme o que dispõe o parágrafo 2o do Art. 70 e paragráfo 3o do Art. 71 da Resolução No. 17/Cun/97. Estará aprovado o aluno que obtiver média aritméticca simples maior ou igual a seis (6,0) entre a nota da prova final e a média do semestre.

BIBLIOGRAFIA:

1. BOYCE, W.E. e DIPRIMA, R. C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno, 6ª

ed., LTC Editora, 1999.

2. BUTKOV, E., Física Matemática, LTC editora, 1988.

3. CHURCHILL, R. V., Fourier Series and Boundary Value Problems, 2ª ed., Editora McGraw-Hill, 1963.

4. COURANT, R. and HILBERT, D., Methods of Mathematical Physics, John Wiley, New York, 1959.

5. DAVIS, H. F., Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, 1963.

6. FIGUEIREDO, D. G. de, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Projeto Euclides, IMPA-

CNPq,1977.

7. MAIA, M. D., Introdução aos Métodos da Física-Matemática, UnB, Brasília, 2000.

8. O´NEIL, P., Advanced Engineering Mathematics, Wadsworth Inc., Pacific Grove, 1995.

9. PISKUNOV, N., Cálculo Diferencial e Integral, vol. 1 e 2, Ed. Mir, 1977.

10. SPIEGEL, M. R., Transformadas de Laplace; resumo e teoria, d. McGraw-Hill, 1971.

11. TIJONOV, A., and SAMARSKI, A., Equaciones de la Física Matemática, E. Mir, 1972.

12. ZILL, D. G., Equações Diferenciais, vol. 1 e 2, Ed. Makron, 2001.

Florianópolis, 28 de abril de 2006

Prof. Luciano Bedin

Coordenador da disciplina