UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PLANO DE ENSINO

DISCIPLINA: VARIÁVEL COMPLEXA

CÓDIGO: MTM5327

PRÉ-REQUISITO: MTM5863

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 05

TOTAL DE HORAS-AULA: 90

SEMESTRE: 2006/1

CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica.

PROFESSOR: Jáuber Cavalcante de Oliveira

EMENTA: Números complexos. Seqüências no plano complexo. A esfera de Riemann. Funções de uma variável complexa. Condições de Cauchy-Riemann. Integração de funções complexas. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Séries de potências. Séries de Laurent. Cálculos de integrais com resíduos. Transformações conformes e suas aplicações. Continuação analítica. Introdução às superfícies de Riemann.

OBJETIVOS DO CURSO:

Propiciar ao aluno condições de:

Desenvolver sua capacidade de dedução e raciocínio lógico;

Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

Perceber e compreender o inter-relacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVO DA DISCIPLINA:

Propiciar ao aluno condições de:

Dominar e aplicar os conceitos relativos às funções de uma variável complexa.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

  1. Números complexos.
    1. Introdução histórica, solução da equação de 3º grau.
    2. Aritmética dos números complexos e representação geométrica.
    3. Forma trigonométrica dos números complexos, fórmulas de De Moivre.
    4. Forma exponencial dos números complexos.
    5. Geometria no plano complexo.

  2. Seqüências de números complexos.
    1. Noções fundamentais da topologia do conjunto dos números complexos.
    2. Convergência de seqüências no conjunto dos números complexos.
    3. Limites no infinito, plano complexo estendido.
    4. A esfera de Riemann.
  3. Funções de uma variável complexa.
    1. Funções de uma variável complexa, domínios, limites, continuidade.
    2. Exemplos de funções complexas de variável complexa: polinômios, transformação de Möbius, raízes n-ésimas.
    3. Derivação de funções complexas, funções holomorfas, condições de Cauchy-Riemann.
    4. Estudo das funções elementares
      1. Funções polinomiais e racionais.
      2. Transformação de Möbius e inversão.
      3. Séries de potências.
      4. Funções exponenciais e trigonométricas.
      5. Função logaritmo, domínio (ramo).
      6. Funções raiz n-ésima, domínios
    1. Aplicações conformes.
  1. Integração no plano complexo.
    1. Integrais de linha no conjunto dos números complexos.
    2. Teorema de Cauchy e aplicações.
    3. Fórmula integral de Cauchy, analiticidade.
    4. Teorema de Liouville, teorema fundamental da álgebra, princípio do módulo máximo, teorema da aplicação aberta.
    5. Séries de Laurent.
    6. Classificação de singularidades
    7. Teorema do resíduo e aplicações.
  1. Tópicos adicionais.
    1. Geometria das transformações conformes.
    2. Aplicações das transformações conformes.
    3. Continuação analítica.
    4. Introdução às superfícies de Riemann.

METODOLOGIA:

O programa será desenvolvido através de aulas expositivas e listas de exercícios.

AVALIAÇÃO:

Serão realizadas 3 (três) provas escritas no decorrer do semestre. Estará aprovado o aluno com freqüência suficiente, que obtiver média maior ou igual a 6,0 (seis).

O aluno com freqüência suficiente e com média entre 3,0 (três) e 5,5(cinco e meio), terá direito a uma prova de recuperação, abrangendo todo o conteúdo do semestre. Neste caso, a nota final será a média aritmética entre a média das e provas regulares, e a prova de recuperação. Será aprovado aquele aluno que tiver nota final maior ou igual a 6,0(seis).

BIBLIOGRAFIA:

  1. Marsden, J.E. e Hoffman, M. J., Basic complex analysis, 2a. ed., W. H. Freeman and Company, New York, 1973.
  2. Alhfors, L.V., Complex analysis, 2a. ed., Mc Graw-Hill , New York, 1966.
  3. Colwell, P, and Mathews, J. C., Introdução às Variáveis Complexas, Edgard Blücher Ltda, 1976.
  4. Duncan, J., The elements of complex analysis. London: J. Wiley, 1968.
  5. Dettman, J. W., Applied complex variables.. New York: Macmillan, 1966.
  6. Churchill, V. R and Brown, W. J., Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, 5 th ed., New York, 1990.
  7. Conway, J. B., Functions of one complex variable. 2nd ed. New York: Springer, 1978.
  8. Medeiros, L. A. J., Introdução às funções complexas. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.
  9. Ávila, G., Variáveis complexas e aplicações. 3.ed Rio de Janeiro: LTC, 2000.
  10. Soares, M. G., Cálculo em uma variável complexa. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.
  11. Spiegel, M. R., Theory and Problems of Complex Variables, (Schaum’s Outline Series), New York, Schaum Publishing, 1990.

 

Florianópolis, 04 de abril de 2006.

Prof. Jáuber Cavalcante de Oliveira