PLANO DE ENSINO

 

Disciplina Álgebra
Código: MTM 5219
Pré-requisitos: MTM 5210, 5501
Pré-requisito paralelo: MTM 5111
Número de horas-aula semanais: 05
Número total de horas-aula: 90
Semestre: 2006/2
CURSO: Matemática – Habilitação Licenciatura – 4a fase
Professores: Andrzej  Solecki e Gerardo Arquimedes Lara Luna

Ementa. Anéis. Corpos. O corpo C dos números complexos. Anéis de polinômios. História da matemática relacionada com o conteúdo.

Objetivos. Ensinando visão estrutural da aritmética simplifica-se vários resultados calculacionais, fornecendo uma ligação com geometria.
Variedade de enfoques mostra a unidade básica de matemática, mesmo enquanto engavetada em disciplinas dispersas.

Conteúdo programático.

  1. Números complexos.
    1. Introdução geométrica, quatro operações, propriedades.
    2. Representações algébrica e trigonométrica.
    3. Conjugação. Norma. C não é bem-ordenado.
    4. Potencias e raízes em C, fórmula de De Moivre.
    5. Geometria de raízes da unidade, raízes primitivas, binômio Xn - 1.
    6. (Des)caminhos históricos .

  2. Estrutura de anel.
    1. Aritmética em Z, divisibilidade.
    2. Divisão longa, algoritmo de Euclides, mdc, fatoração.
    3. Os inteiros de Gauss Z[i], semelhanças com Z.
    4. Elementos inversíveis, os primos.
    5. Os inteiros de Eisenstein Z[w].
    6. Anéis quadráticos.

  3. Construções de aneis e corpos.
    1. Aritmética de matrizes quadradas L(n;K) para K= Z, R,C.
    2. Divisores de zero.
    3. Matrizes inversíveis.
    4. Matrizes idempotentes e nilpotentes.
    5. Classes definidas equacionalmente:
      subestruturas, produtos cartesianos, estruturas fatoriais.
    6. Anéis de funções: R , C(R), C([0,1]).

  4. Polinômios
    1. Os anéis K[X] para K= Q, Z, R, C.
    2. Grau de polinômios, polinômio nulo.
    3. Raízes de polinômios.
    4. Polinômios irredutíveis, fatoração.
    5. Teorema fundamental de álgebra.
    6. Corpo de funções racionais R(X), frações parciais.

Metodologia. O conteúdo será desenvolvido através de aulas expositivas e séries de exercícios apresentados aos estudantes.

Cronograma. Tomando em conta o semestre atípico (interrompido na primeira dezena de dezembro por 7 semanas) é necessário expor todo material até dezembro e em fevereiro de 2007 (4 semanas) fazer uma série de revisões dos tópicos expostos anteriormente, destacando a abordagem geométrica e indicando os rumos a seguir para avançar na teoria
Cada das quatro partes em quais os tópicos são agrupados deve exigir por volta de 15 horas-aula.

Avaliação. A decisão sobre escolha mais adequada de tipo de provas (três parciais – série de testes – exercícios resolvidos em casa – mistura das técnicas) vai ser tomada e anunciada dentro do primeiro mês do curso, quando ficar claro o nível de domínio dos pré-requisitos e o empenho em resolução das listas de exercícios. As provas escritas (provas parciais, testes) estabelecem o patamar que determina a aprovação do estudante. A média do semestre é a média aritmética das provas (dois testes simples equivalem uma prova).

Além das notas de avaliações, na hora de atribuir uma nota acima de 7,0 vários outros fatores são considerados (presença sistemática sem atrasos, formação de grupos de estudo, soluções de exercícios durante a aula no quadro negro, formulação de perguntas, solução de exercícios provenientes de outras fontes, comprovadas pesquisas temáticas na Internete e na biblioteca, etc). As notas que indicam um trabalho sistemático desde o início de semestre, sem resultados muito baixos no caminho também elevam a nota do semestre.

Prova de recuperação. Estudantes com freqüência suficiente e média maior ou igual a três (3.0) e menor ou igual a cinco vírgula cinco (5.5), terão direito a realizar uma prova final, sobre todo o conteúdo, conforme o que dispõe §2 do Art.7 e §3 do Art.71 da Resolução n° 17/Cun/97. Estará aprovado estudante que obtiver média aritmética simples maior ou igual a 6.0 (seis) entre a nota da prova de recuperação e a média do semestre.

Bibliografia.

  1. Carmo, M. P., A.C. Morgado, E. Wagner, Trigonometria e Números Complexos, Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2001, ISBN 85-85818-08-5
  2. Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, SBM, Thomson, 2001
  3. Hahn, Liang-shin, Complex Numbers and Geometry, MAA 1994, ISBN 0-88385-510-0
  4. Hefez, A., Curso de Álgebra, Volume I, Coleção Matemática Universitária, SBM IMPA, Rio de Janeiro, 1993

Andrzej Solecki

Fpolis, 8/IX/06