Disciplina: Álgebra Linear
Código: MTM 5247
Pré-requisito: MTM 5512
Número de horas-aulas semanais: 4
Número total de horas-aulas: 72
Curso: Engenharia Elétrica
Semestre: 2006/2
Professor: Andrzej Solecki

Ementa. Espaços vetoriais, subespaços, bases e dimensão. Mudança de bases. Transformações Lineares: núcleo e imagem. Noções básicas de ortogonalidade e produto interno, método de Gram-Schmidt, projecões ortogonais e método dos quadrados mínimos. Autovalores e autovetores, diagonalização, forma canónica de Jordan (n<4). Exemplos das dificuldades numéricas na resolução de sistemas lineares. Princípios básicos da programação linear.

Objetivo. Propiciar aos estudantes compreensão como as técnicas e resultados da Geometria Analítica são generalizadas na Álgebra Linear, na linguagem matricial, às dimensões além de 3.

Conteúdo programático.

1. Partida geométrica.
   1. Produto interno - definição geométrica, fórmula trigonomética, fórmula aritmética em coordenadas. Norma de um vetor. Ângulo entre vetores.
   2. Aplicações: equação da reta no plano e plano no espaço; distância de um ponto da reta e do plano; cálculo da área do paralelograma; sentido geométrico de determinante 2x2.
   3. Desigualdade de Cauchy-Schwartz. Aplicações
   4. Configurações de retas no plano – montagem de sistemas de equações lineares.
   5. Vetores no plano e espaço, multiplicação por escalar, conexão com teorema de Tales.
2. Isometrias, homotetias (dilatações), transformação linear.
   1. Notação de TL usando matrizes. Operações aritméticas no conjunto de TLs
   2. Composição de funções e multiplicação de matrizes. Bijeções em TLs, Determinação de TLs bijetivas.
   3. Noção geométrica de base.
   4. Mudança de base e mudança de matriz da TL. Matrizes conjugadas.
3. Generalização: espaço linear abstrato.
   1. Definição de espaço vetorial e linear sobre números reais. Exemplos: matrizes, funções reais, polinômios.
   2. Independência linear de vetores. Base, dimensão do espaço, hiperplanos. Isomorfismo de espaços.
   3. Subespaços lineares. Classificação em dimensões baixas.
   4. Produto cartesiano (construção externa). Soma direta (construção interna) como generalização de base.
   5. Produto interno abstrato – formas quadráticas.
   6. Ortogonalização de Gram-Schmidt.
   7. Determinante – definição abstrata. Teorema de Cauchy. Técnicas calculacionais.
4. Sistemas de equações lineares e TLs.
   1. Critérios de existência de soluções. Matriz estendida do sistema. Posto, núcleo.
   2. Técnicas clássicas (Gauss, Jacobi), operações elementares, matriz triangular e diagonal.
   3. Solução por matriz inversa.
   4. Regra de Cramer.
   5. Matrizes mal-condicionadas e outros problemas da prática computacional.
5. Como simplificar a notação.
   1. Polinômio característico. Valores próprios e vetores próprios.
   2. Diagonalização. Teorema spectral.
   3. Forma de Jordan em dimensões baixas.
   4. Diversos sentidos de “diagonalização”:
      • escalonamento,
      • conjugação
      • signatura e defeito – lei da inêrcia da forma quadrática.
6. Aplicações avançadas.
   1. Ortogonalização e problema dos quadrados mínimos.
   2. Problemas de Programação Linear.
   3. Método simplex.

Metodologia. O conteúdo será desenvolvido através de aulas expositivas e séries de exercícios apresentados aos estudantes.

Cronograma. Tomando em conta o semestre atípico (interrompido na primeira dezena de dezembro por 7 semanas) é necessário expor todo material até dezembro e em fevereiro de 2007 (4 semanas) fazer uma série de revisões dos tópicos expostos anteriormente, focalizando o lado computacional. As partes que continuam a abordagem geométrica da matéria MTM 5512 ocuparão 4 semanas (partes 1 – 2), o enfoque conceitual (parte 3) ocupará 3 semanas, os assuntos ligados com equações (parte 4) exigirá 3 semanas, as técnicas calculacionais mais avançadas (partes 5 – 6) usarão 3 semanas.

Avaliação. A decisão sobre escolha mais adequada de tipo de provas (três parciais – série de testes – exercícios resolvidos em casa – mistura das técnicas) vai ser tomada e anunciada dentro do primeiro mês do curso, quando ficar claro o nível de domínio dos pré-requisitos e o empenho em resolução das listas de exercícios. As provas escritas (provas parciais, testes) estabelecem o patamar que determina a aprovação do estudante. A média do semestre é a média aritmética das provas (dois testes simples equivalem uma prova).

Além das notas de avaliações, na hora de atribuir uma nota acima de 7,0 vários outros fatores são considerados (presença sistemática sem atrasos, formação de grupos de estudo, soluções de exercícios durante a aula no quadro negro, formulação de perguntas, solução de exercícios provenientes de outras fontes, comprovadas pesquisas temáticas na Internete e na biblioteca, etc). As notas que indicam um trabalho sistemático desde o início de semestre, sem resultados muito baixos no caminho também elevam a nota do semestre.

Prova de recuperação. Estudantes com freqüência suficiente e média maior ou igual a três (3.0) e menor ou igual a cinco vírgula cinco (5.5), terão direito a realizar uma prova final, sobre todo o conteúdo, conforme o que dispõe §2 do Art.7 e §3 do Art.71 da Resolução n° 17/Cun/97. Estará aprovado estudante que obtiver média aritmética simples maior ou igual a 6.0 (seis) entre a nota da prova de recuperação e a média do semestre.

Bibliografia.

1. Anton, H., C. Rorres, Álgebra Linear com aplicações, Bookman, PoA, 2001
2. Boldrini, J.L. et al., Álgebra Linear, 3a ed., Harbra, 1986
3. Kolman, B., Introdução à Álgebra Linear com aplicações, 6a ed., Prentice Hall do Brasil Ltda., RJ, 1998
4. Leon, S.J., Álgebra Linear com aplicações, 4a ed., Livros Técnicos e Científicos Editora SA, 1995
5. Lima, E.L., Álgebra Linear, IMPA/CNPq, RJ, 1998
6. Lipschutz, S., Álgebra Linear, 3a ed., MacGraw-Hill, 1999
7. Noble, B., J.W.Daniel, Álgebra Linear Aplicada, 2a ed., Prentice Hall, RJ, 1986
8. Poole, D., Álgebra Linear, Thompson, SP, 2004
9. Strang, G., Introdução to Linear Álgebra, Wellesley, Cambridge Press, 1993

Fpolis, 8/IX/06