PLANO DE ENSINO

DISCIPLINA: Álgebra I

CÓDIGO: MTM 5261

PRÉ-REQUISITO: MTM 5505

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06

TOTAL DE HORAS-AULA: 108

SEMESTRE: 2007/1

CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica

PROFESSOR: Oscar Ricardo Janesch

EMENTA: Anel dos inteiros. Anel dos inteiros módulo n. Definição axiomática de anel e corpo. Subanéis e ideais. Anéis quociente. Homomorfismos. Corpo de frações de um domínio. Divisibilidade, fatoração única e MDC em domínios. Anéis quadráticos.

OBJETIVOS DO CURSO: Propiciar ao aluno condições de:

• Desenvolver sua capacidade de dedução;

• Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

• Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

• Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

• Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas ao longo do Curso;

• Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Generalizar o conceito de operação binária e reconhecer propriedades.

2. Reconhecer anéis quadráticos e operar com inteiros de Gauss.

3. Conhecer e aplicar teoremas sobre fatoração única.

4. Identificar propriedades de anéis euclidianos.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1 - Anel dos Inteiros

• Operações e propriedades.

• Princípio da boa ordem.

• Princípios de Indução.

• Algoritmo da divisão.

• Ideais e MDC. Equações Diofantinas e Teorema de Bezout.

• Números primos e ideais maximais.

• Fatorização única.

2 - Anel dos inteiros módulo n.

• _{Congruência módulo n.}

• _{Operações em Zn e propriedades.}

• _{Função de Euler e determinação dos elementos invertíveis de Zn.}

• _{Divisores de zero, nilpotentes, idempotentes em Zn.}

• _{Teorema Chinês de Restos.}

3 - Definição Axiomática de Anel

• Definição de anel, corpo e domínio. Exemplos.

• O corpo dos números complexos.

• Subanéis, subcorpos e ideais (à esquerda, à direita e bilaterais).

• Ideais primos e maximais.

• Anéis quociente.

• Homomorfismos: monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, automorfismo. Teorema do homomorfismo.

• Corpo de frações de um domínio.

4 - Anéis Quadráticos

• Definição e exemplos. Função norma e propriedades. Elementos invertíveis.

• Inteiros de Gauss: algoritmo da divisão, elementos primos, máximo divisor comum.

• Exemplos de anéis onde elementos irredutíveis não são necessariamente primos.

5 - Fatorização Única em Domínios

• Divisibilidade. Elementos invertíveis, elementos associados, elementos irredutíveis e elementos primos.

• Anéis euclidianos.

• Anéis de polinômios.

• Anéis com MDC.

• Anéis principais.

• Fatorização única.

METODOLOGIA: O Programa será desenvolvido através de aulas expositivas.

AVALIAÇÃO: Serão realizadas quatro provas escritas. Estará aprovado o aluno com freqüência suficiente que obtiver média semestral maior ou igual a 6 (seis).

O aluno com freqüência suficiente e com média entre 3 (três) e 5,5 (cinco e meio) terá direito a uma avaliação final, abrangendo todo o conteúdo do semestre. Neste caso, a nota final será a média aritmética entre a avaliação final e a média semestral. Será aprovado o aluno que tiver nota final maior ou igual a 6 (seis).

BIBLIOGRAFIA

1. Domingues, H. H. - Álgebra Moderna, 2ª ed., Atual Editora Ltda, SP, 2003.

2. Garcia, A. e Lequain, Y. – Álgebra: um curso de introdução, IMPA, RJ, 1988.

3. Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, IMPA, RJ, 2003.

4. Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, IMPA, RJ, 2001.

5. Hefez, A. - Curso de Álgebra, vol. I, Coleção Matemática Universitária, IMPA/CNPq, RJ, 1993.

6. Herstein, I. - Tópicos de álgebra , Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono, 1970.

7. Milies , F. C. P. e Coelho, S. P. - Números: uma introdução à matemática, 1ª Ed., USP, SP, 1998.

8. Monteiro, L. H. J. - Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos, RJ, 1978.

Florianópolis, 05 de março de 2007

Prof. Oscar Ricardo Janesch

Coordenadora da disciplina