UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
PLANO DE ENSINO
CÓDIGO: MTM 5263
PRÉ-REQUISITO: MTM 5262 - Álgebra II
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06
TOTAL DE HORAS-AULA: 108
SEMESTRE: 2007/1
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica.
PROFESSOR: Virgínia Silva Rodrigues.
EMENTA: Anel de polinômios: algoritmo da divisão, fatoração única, critérios de irredutibilidade, polinômios irredutíveis e ideais maximais. Extensões algébricas dos racionais. Construção por régua e compasso. A correspondência de Galois. Solubilidade por meio de radicais.
Objetivos Gerais
Propiciar ao aluno condições de:
- desenvolver sua capacidade de dedução;
- desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;
- desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;
- desenvolver seu espírito crítico e criativo;
- perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática
apresentadas ao longo do Curso;
- organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
Objetivos Específicos
Ao fim do curso o aluno deve ser capaz de:
- identificar as diversas situações em que se manifesta uma correspondência galoisiana;
- resolver questões em que se aplica a teoria de corpos.
Conteúdo programático
1) Anéis de polinômios.
O algoritmo da divisão de Euclides para polinômios.
Ideais em anéis de polinômios.
Polinômios irredutíveis e Critérios de Irredutibilidade.
Construção de corpos a partir de polinômios irredutíveis.
Fatoração.
2) Extensões de Corpos.
Exemplos básicos.
Elementos algébricos e transcendentes.
Extensões algébricas.
A característica de um anel.
Adjunção de raízes.
Corpo de decomposição.
Extensões simples e o Teorema do Elemento Primitivo.
Extensões separáveis.
3) Correspondência de Galois e Solubilidade.
Extensões galoisianas.
Extensões normais.
O grupo de Galois de um polinômio.
Teorema da Correspondência de Galois.
Exemplos.
Extensões radicais.
Solubilidade por radicais.
A insolubilidade da quíntica geral.
4) Construção por régua e compasso.
Quadratura do círculo.
Duplicação do cubo.
Trisecção de ângulo.
Construção de polígonos regulares.
METODOLOGIA: O Programa será desenvolvido através de aulas expositivas.
AVALIAÇÃO: Serão realizadas quatro provas escritas. Estará aprovado o aluno com freqüência suficiente que obtiver média semestral maior ou igual a 6 (seis).
O aluno com freqüência suficiente e com média entre 3 (três) e 5,5 (cinco e meio) terá direito a uma avaliação final, abrangendo todo o conteúdo do semestre. Nesse caso, a nota final será a média aritmética entre a avaliação final e a média semestral. Será aprovado o aluno que tiver nota final maior ou igual a 6 (seis).
Bibliografia:
1. A. Gonçalves, INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA, IMPA, RJ, 2001.
2. D.J.H. Garling, A COURSE IN GALOIS THEORY, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
3. I. Herstein, TÓPICOS DE ÁLGEBRA, Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono, São Paulo, 1970.
4. I. Stewart, GALOIS THEORY, Chapman & Hall, third edition, 2004.
5. I. Kaplansky, INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS, Notas de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1969.
6. I. Kaplansky, FIELDS AND RINGS, Chicago Lectures in Mathematics, second edition, Chicago-London, 1972.
7. N. Jacobson, BASIC ALGEBRA I, Freeman, San Francisco, 1974.
8. P.M. Cohn, ALGEBRA vol. II, Wiley & Sons, London, 1977.
Florianópolis, 13 de março de 2007
Profa. Virgínia Silva Rodrigues
Coordenadora da disciplina