PLANO DE ENSINO

Disciplina: Análise I

Código: MTM 5316

Semestre: 2007.1

Número de Horas Aula: 108

Curso: Bacharelado em Matemática e Computação Científica

Professor: Ruy Coimbra Charão

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Propiciar ao aluno condições de:

• dominar com rigor e detalhe os conceitos básicos envolvendo o sistema dos números reais, o espaço euclidiano n-dimensional , os espaços métricos e os teoremas clássicos da Análise Matemática relativos ao programa da disciplina;

• desenvolver a capacidade de aplicar as técnicas e os resultados fundamentais da Análise à resolução de problemas.

EMENTA:

Supremo e ínfimo. Espaços métricos (com ênfase em Rⁿ ). Funções contínuas.

Seqüências de Cauchy. Conexidade. Compacidade. Seqüências de funções.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1. Corpos ordenados. Propriedade arquimediana. Seqüências monótonas. Corpos ordenados completos. O sistema dos números reais. Supremo e ínfimo. Seqüências de Cauchy. Limite superior e limite inferior.

2. O espaço euclidiano Rⁿ. Normas, produtos internos e métricas. Espaços métricos. Espaços normados. Conjuntos abertos e fechados. Interior de um conjunto. Pontos de acumulação. Fecho de um conjunto. Fronteira de um conjunto. Seqüências em Rⁿ. Espaço métrico completo. Completamento de um espaço métrico. Séries numéricas e de vetores.

3. Compacidade seqüencial. Espaço métrico compacto. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Conjunto totalmente limitado. Teorema de Heine-Borel. Conjuntos encaixantes. Conjuntos conexos por caminhos. Conjuntos Conexos.

4. Limite e continuidade. Caracterização de funções contínuas. Imagem de compactos e conexos. Operações com funções contínuas. Limitação de funções contínuas em compactos. Teorema do valor intermediário. Continuidade uniforme.

5. Seqüências de funções. Convergência pontual e convergência uniforme. Séries de funções. Critério de Cauchy. Teste M de Weierstrass. Integração e derivação de séries. O espaço das funções contínuas. Espaço de Banach. Equicontinuidade. Teorema de Arzela-Ascoli. Teorema do ponto fixo. Aproximação de funções por polinômios. Teorema de Stone-Weierstrass.

METODOLOGIA:

Aulas expositivas e de exercícios, e tarefas extra-classe onde os alunos serão estimulados a propor suas próprias soluções para os exercícios e problemas propostos.

CRONOGRAMA DE PROVAS:

Prova1: Unidade 1 e parte Unidade 2

Prova2: Parte final da Unidade 2 e Unidade 3

Prova3: Unidade 4

Prova4: Unidade 5

AVALIAÇÃO:

Através de quatro provas escritas a serem aplicadas ao longo do semestre. A nota final será a média aritmética das quatro notas obtidas nessas provas. O aluno que obtiver média inferior a seis mas não inferior a três, e tiver freqüência suficiente, terá direito a uma prova de recuperação no final do semestre que versará sobre todo o conteúdo do curso. A nota final do aluno que fizer recuperação será calculada de acordo com a legislação desta universidade.

BIBLIOGRAFIA:

1. J. Marsden, M. Hoffman; Elementary Clasical Analysis; W. H. Freeman; 1974.

2. R. G. Bartle; Elementos de Análise Real; Editora Campus; 1983.

3. E. L. Lima; Curso de Análise (vols. I e II ); Projeto Euclides (IMPA).

4. W. Rudin; Princípios de Análise Matemática; Ao Livro Técnico e Editora Universidade de Brasília; 1971.

5. S. Lang; Analysis; Addison-Wesley; 1968

6. C. S. Hönig; Aplicações da Topologia à Análise; Projeto Euclides (IMPA)

7. T. W. Ma; Classical Analysis on Normed Spaces; World Scientific; 1995.

8. Spivak, Calculus on Manifolds; Benjamin, New York; 1965.

Florianópolis, 08 de março de 2007

Prof. Ruy Coimbra Charão

Coordenador da disciplina