PLANO DE ENSINO

DISCIPLINA: Álgebra Linear Computacional

CÓDIGO: MTM 5533

PRE-REQUISITO: MTM 5872

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06

Nº TOTAL DE HORAS/AULA: 100

SEMESTRE: 2007-1

CURSO: Matemática, habilitação: Bacharelado em Matemática e Computação Científica

PROFESSOR: Fermín S. V. Bazán

EMENTA: Análise matricial. Decomposição em valores singulares. Sensibilidade numérica de sistemas de equações lineares. Decomposição QR. Métodos para problemas de quadrados mínimos lineares. Análise de sensibilidade numérica. Métodos iterativos clássicos para sistemas lineares.

OBJETIVOS: Propiciar ao aluno condições de:

* Desenvolver sua capacidade de dedução Desenvolver sua capacidade de dedução;

* Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

* Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

* Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

* Perceber e compreender o inter-relacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas ao longo do Curso.

* Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

1. Revisar conceitos da Álgebra Linear sob o ponto de vista da análise matricial.

2. Estudar algoritmos para resolução de sistemas lineares por meio de diferentes fatorações.

3. Estudar os conceitos de erro em aritmética finita, sensibilidade, condicionamento de sistemas lineares.

4. Estudar os métodos de ortogonalização aplicados ao problema de quadrados mínimos.

5. Compreender os métodos iterativos, suas propriedades e suas implementações.

6. Estudar a teoria envolvida no estudo dos sistemas lineares em relação a métodos e algoritmos.

7. Desenvolver algoritmos específicos para a resolução de sistemas lineares de um ponto de vista computacional.

PROGRAMA

UNIDADE I - Normas de vetores e matrizes, decomposição em valores singulares e sensibilidade numérica de sistemas de equações lineares.

1.1 Normas de vetores e matrizes.

1.2 Decomposição em valores singulares.

1.3 Projeções Ortogonais.

1.4 Sensibilidade dos sistemas lineares quadrados.

1.5 Erros em aritmética finita.

UNIDADE II - Álgebra numérica matricial.

2.1 Transformações matriciais (Householder, Givens, Gauss).

2.2 Fatoração LU. Pivotamento. Sistemas Lineares especiais.

2.3 Sistemas definidos e indefinidos.

2.4 Sistemas com estrutura de banda, blocados, Vandermonde, Toeplitz, etc.

UNIDADE III - Ortogonalização e método dos quadrados mínimos.

3.1 Propriedades.

3.2 Métodos de Householder, Gram-Schmidt e Givens.

3.3 Problema de quadrados mínimos.

3.4 Fatoração QR com pivotamento e SVD.

UNIDADE IV - Métodos iterativos para sistemas lineares.

4.1 Estrutura de dados e operações com matrizes esparsas.

4.2 Métodos iterativos clássicos (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR)

4.3 Aceleração polinomial e método semi-iterativo de Chebyshev.

4.4 Métodos de gradiente conjugado.

4.5 Pré-condicionamento de matrizes.

METODOLOGIA: O programa será desenvolvido por meio de aulas expositivas e atividades computacionais.

AVALIAÇÃO: Serão realizadas três provas escritas, cuja média aritmética corresponderá a 80% da média M. Os outros 20% corresponderão às avaliações das atividades computacionais ou listas de problemas realizadas durante o semestre. O aluno, com freqüência suficiente, será aprovado se M for superior ou igual a seis. Caso contrário, se M for superior ou igual a três, fará uma prova de recuperação sobre toda a matéria. Se a média aritmética entre M e a prova de recuperação for maior ou igual a seis, o aluno será aprovado; caso contrário, o aluno será reprovado.

BIBLIOGRAFIA

Referência principal:

1. GOLUB, Gene H.; VAN LOAN, Charles F. Matrix computations. 3rd. ed. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1996.

Outras Referências:

2. BHATIA, Rajendra. Matrix analysis. New York: Springer, 1996.

3. DEMMEL, James W.; Applied Numerical Linear Algebra. Philadelphia: SIAM, 1997.

4. GREENBAUM, Anne; Iterative Methods for Solving Linear Systems. Philadelphia: SIAM, 1997.

5. HIGHAM, Nicholas J. Accuracy and stability of numerical algorithms. 2nd ed. Philadelphia: SIAM, 2002.

6. HORN, Roger A.; JOHNSON, Charles R. Matrix analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

7. MEYER, Carl D. Matrix analysis and applied linear algebra. Philadelphia: SIAM, 2000.

8. STEWART, Gilbert W. Matrix Algorithms, vol. 1: Basic Decompositions. Philadelphia: SIAM, 1998.

9. TREFETHEN, Lloyd N.; BAU, David. Numerical Linear Algebra. Philadelphia: SIAM, 1997.

10. WATKINS, David S. Fundamentals of matrix computations. New York: J. Wiley, 1991.