Disciplina: Álgebra Linear
Código: MTM 5247
Pré-requisito: MTM 5512
Número de horas-aulas semanais: 4
Número total de horas-aulas: 72
Curso: Engenharia Elétrica
Semestre: 2007/2
Professor: Andrzej Solecki
Ementa.
Espaços vetoriais, subespaços, bases e dimensão. Mudança de bases.
Transformações Lineares: núcleo e imagem. Noções básicas de ortogonalidade
e produto interno, método de Gram-Schmidt, projecões ortogonais e método
dos quadrados mínimos. Autovalores e autovetores, diagonalização, forma
canónica de Jordan (n<4). Exemplos das dificuldades numéricas na
resolução de sistemas lineares. Princípios básicos da programação linear.
Objetivo. Propiciar aos estudantes compreensão como
as técnicas e resultados da Geometria Analítica são generalizadas
na Álgebra Linear, na linguagem matricial, às dimensões além de 3.
Conteúdo programático.
- Partida geométrica.
- Produto interno - definição geométrica, fórmula trigonomética,
fórmula aritmética em coordenadas. Norma de um vetor. Ângulo entre vetores.
- Aplicações: equação da reta no plano e plano no espaço; distância de um
ponto da reta e do plano; cálculo da área do paralelograma; sentido
geométrico de determinante 2x2.
- Desigualdade de Cauchy-Schwartz. Aplicações
- Configurações de retas no plano montagem de sistemas de equações
lineares.
- Vetores no plano e espaço, multiplicação por escalar, conexão com
teorema de Tales.
- Isometrias, homotetias (dilatações), transformação linear.
- Notação de TL usando matrizes. Operações aritméticas no conjunto
de TLs
- Composição de funções e multiplicação de matrizes. Bijeções em TLs,
Determinação de TLs bijetivas.
- Noção geométrica de base.
- Mudança de base e mudança de matriz da TL. Matrizes conjugadas.
- Generalização: espaço linear abstrato.
- Definição de espaço vetorial e linear sobre números reais. Exemplos:
matrizes, funções reais, polinômios.
- Independência linear de vetores. Base, dimensão do espaço,
hiperplanos. Isomorfismo de espaços.
- Subespaços lineares. Classificação em dimensões baixas.
- Produto cartesiano (construção externa). Soma direta (construção
interna) como generalização de base.
- Produto interno abstrato formas quadráticas.
- Ortogonalização de Gram-Schmidt.
- Determinante definição abstrata. Teorema de Cauchy. Técnicas
calculacionais.
- Sistemas de equações lineares e TLs.
- Critérios de existência de soluções. Matriz estendida do sistema. Posto,
núcleo.
- Técnicas clássicas (Gauss, Jacobi), operações elementares, matriz
triangular e diagonal.
- Solução por matriz inversa.
- Regra de Cramer.
- Matrizes mal-condicionadas e outros problemas da prática computacional.
- Como simplificar a notação.
- Polinômio característico. Valores próprios e vetores próprios.
- Diagonalização. Teorema spectral.
- Forma de Jordan em dimensões baixas.
- Diversos sentidos de diagonalização:
- escalonamento,
- conjugação
- signatura e defeito lei da inêrcia da forma quadrática.
- Aplicações avançadas.
- Ortogonalização e problema dos quadrados mínimos.
- Problemas de Programação Linear.
- Método simplex.
Metodologia. O conteúdo será desenvolvido através
de aulas expositivas e séries de exercícios apresentados
aos estudantes.
Cronograma.
Abordagem geométrica (partes 1 e 2) 16 horas.
Enfoque conceitual (parte 3) 14 horas.
Equações (parte 4) 16 horas.
Técnicas calculacionais avançadas (partes 5 e 6) 12 horas.
Extensões 6 horas.
Avaliações e discuções 8 horas.
Avaliação. Série de testes semanais de conteúdo simples,
de duração de 15 minutos. A média aritmética dos testes efetivamente
escritos (um pode ser não escrito ou desconsiderado) e a base da
nota. A presença completa eleva a nota por um ponto. Pontos adicionais
dependem da atividade do estudante durante as aulas (qualidade de
perguntas, respostas às perguntas dirigidas à turma, qualidade
questionamentos por e-mails formação de grupos de estudo, comprovadas
pesquisas temáticas na Internete e na biblioteca). As notas de testes que
indicam um trabalho sistemático desde o início de semestre, sem
resultados muito baixos no caminho, também elevam a nota do semestre.
Prova de recuperação. Estudantes com freqüência suficiente e média
maior ou igual a três (3.0) e menor ou igual a cinco vírgula cinco (5.5),
terão
direito a realizar uma prova final, sobre todo o conteúdo, conforme o que
dispõe §2 do Art.7 e §3 do Art.71 da Resolução n° 17/Cun/97. Estará
aprovado estudante que obtiver média aritmética simples maior ou igual a 6.0
(seis) entre a nota da prova de recuperação e a média do semestre.
Bibliografia.
- Anton, H., C. Rorres, Álgebra Linear com aplicações, Bookman,
PoA, 2001
- Boldrini, J.L. et al., Álgebra Linear, 3a ed., Harbra,
1986
- Kolman, B., Introdução à Álgebra Linear com aplicações, 6a ed.,
Prentice Hall do Brasil Ltda., RJ, 1998
- Leon, S.J., Álgebra Linear com aplicações, 4a ed., Livros
Técnicos e Científicos Editora SA, 1995
- Lima, E.L., Álgebra Linear, IMPA/CNPq, RJ, 1998
- Lipschutz, S., Álgebra Linear, 3a ed., MacGraw-Hill, 1999
- Noble, B., J.W.Daniel, Álgebra Linear Aplicada, 2a ed.,
Prentice Hall, RJ, 1986
- Poole, D., Álgebra Linear, Thompson, SP, 2004
- Strang, G., Introdução to Linear Álgebra, Wellesley, Cambridge Press,
1993
Andrzej Solecki