UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PLANO DE ENSINO
DISCIPLINA: Cálculo III
CÓDIGO: MTM 5117
PRÉ-REQUISITO: MTM 5116
SEMESTRE: 2008/2
Nº DE HORAS-AULAS: 108
CURSOS: Física, Química
PROFESSORES: Genaldo Leite Nunes e Robert Ozório Moreira
EMENTA: Cálculo vetorial. Curvatura. Torção. Divergente. Rotacional. Integral de linha. Teorema de Green. Integral de superfície. Teorema da divergência. Teorema de Stokes. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Equações diferenciais ordinárias de ordem n.
OBJETIVOS: Ao término da disciplina o aluno deve:
1 - Estar familiarizado com as funções vetoriais e com o cálculo de limites e derivadas.
2 - Saber descrever curvas e superfícies de maneira implícita e paramétrica e calcular retas e planos tangentes.
3 - Conhecer as propriedades do gradiente, divergência e rotacional, e suas interpretações e cálculos.
4 - Saber calcular integrais de linha e de superfície de campos escalares e vetoriais e conhecer suas aplicações.
5 - Conhecer os teoremas de Green, Stokes e Gauss e algumas de suas aplicações.
6 - Estar familiarizado com os conceitos de equação diferencial e solução, e com sua aplicações.
7 - Conhecer os métodos elementares de solução de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem e de ordem superior.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1 - Cálculo Vetorial
Funções Vetoriais de uma Variável. Limite, continuidade, derivadas. Curvas: parametrização: (exemplos: retas, circunferência, elipses, hélices, etc.); vetor tangente, orientação, reparametrizações, vetor velocidade e vetor aceleração; comprimento de arco. Funções Vetoriais de Várias Variáveis.
a) Campos escalares:
Gradiente de um campo escalar. Potencial de um campo gradiente. A derivada de um campo escalar como transformação linear, matriz hessiana e aproximações de 2ª ordem; fórmula de Taylor.
b) Campos vetoriais:
Interpretações física e geométrica; limite e continuidade; a derivada de um campo vetorial, matriz jacobiana; divergência e rotacional.
2 - Integral de linha
Integral curvilínea de um campo escalar: definição, propriedades, cálculo, aplicações em cálculo de massa, centro de massa e momento de inércia, integral curvilínea de um campo vetorial: definição, propriedades, cálculo, trabalho realizado por uma força; integrais curvilíneas independente do caminho de integração; Teorema de Green, o Teorema da divergência no plano.
3 - Integral de Superfície
Superfície (forma explícita, implícita e vetorial); produto vetorial fundamental; integral de superfície de um campo escalar: definição; propriedades; cálculo, aplicações em cálculo de área de superfície, centro de massa, momento de inércia; integral de superfície de um campo vetorial: definição, cálculo, interpretação física; Teorema de Stokes, Teorema da Divergência (fórmula de Ostrogradski).
4 - Equações Diferenciais de 1ª ordem
Noções gerais sobre equações diferenciais; equações diferenciais de 1ª ordem e 1º grau (equações de variáveis separáveis, equações homogêneas, equações diferenciais exatas, fator integrante, equações lineares), equações diferenciais de 1ª ordem e grau diferente de um (envoltório, soluções singulares, interpretação geométrica); alguns exemplos de aplicação das equações diferenciais de 1ª ordem.
5 - Equações Diferenciais de Ordem n
Definição; teorema de unicidade; teoria das soluções (dependência e independência linear); o wronskiano; tipos especiais de equações de 2ª ordem; equações diferencias lineares de ordem n, homogêneas com coeficientes constantes; equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes; (resolução pelo método dos coeficientes a determinar e pelo método dos parâmetros); aplicações das equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes.
METODOLOGIA:
O programa será desenvolvido através de aulas expositivas dialogadas e aulas de exercícios.
AVALIAÇÃO: O aluno será avaliado através de 03 (três) provas escritas obrigatórias que serão realizadas ao longo do semestre letivo. Será calculada a média aritmética simples das 4 notas e será considerado aprovado o aluno que obtiver a nota mínima 6,0 (seis vírgula zero), de acordo com o artigo 72, da Resolução n° 17/CUN/97. Conforme o parágrafo 2 do artigo 70, o aluno com freqüência suficiente (FS) e média aritmética das notas de avaliações do semestre entre 3,0 (três) e 5,5 (cinco virgula cinco) terá direito a uma avaliação final. Essa avaliação engloba todo conteúdo do semestre.
De acordo com o parágrafo 3 do artigo 71, a nota final será calculada através da média aritmética entre a média das notas das avaliações parciais e a nota obtida na avaliação final. O aluno estará aprovado se obtiver média final maior ou igual a 6,0 (seis vírgula zero).
BIBLIOGRAFIA
ANTON, H. – Cálculo um novo horizonte, 6ª Ed., Porto Alegre, Bookman, 2000. v.2.
BOYCE-DIPRIMA,: Equações Diferenciais Elementares e Problemas com Valores de Fronteira, 5ª Ed., Editora Guanabara Koogan, 1994.
FLEMMING, D., e GONÇALVES, M. B., Cálculo C, Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1999.
FRANK A. Coleção Schaum. Equações Diferenciais.
KREYSZIG, E., Matemática Superior 1, LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1983.
MARSDEN, J.E. e TROMBA, A. J. - Vector Calculus, 4th. Ed., Freeman, 1996.
MURRAY Spiegel. Cálculo Avançado, Mc Graw-Hill, Coleção Schaum, 1974.
PISKUNOV, N., Cálculo Diferencial e Integral. Porto: Livraria Lopes da Silva-Editora. 1990. v. 2.
STEWART, J., Cálculo, Editora Pioneira Thomson Learning, São Paulo, 2005. v.2.
Florianópolis, 30 de junho de 2008
Prof. Robert Ozório Moreira
Coordenador da disciplina