UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 

PROGRAMA DE MTM 5118 - CÁLCULO IV

 

PRÉ-REQUISITO(S): MTM 5117

Nš DE HORAS-AULAS SEMANAIS: 04

Nš TOTAL DE HORAS AULA: 72

SEMESTRE:87.2 Até o momento

CURSOS: Física, Química

EMENTA: Séries numéricas. . Séries de funções. Séries de Potências. Funções Complexas. Integração Complexa.

OBJETIVOS: O aluno ao final do curso deve ser capaz de:

1) Identificar séries numéricas e examiná-las quanto à convergência e divergência.

2) Identificar séries de funções, examiná-las quanto à convergência e divergência, bem como expandir-funções em séries de potências.

3) Identificar números complexos. Analisar e solucionar problemas sobre funções complexas, limites e continuidade de funções complexas, derivadas de funções complexas. Calcular a integral de funções complexas.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

Unidade 1: Seqüências e séries numéricas

1.1. Seqüências

1.1.1. Definição

1.1.2. Limite

1.1.3. Convergência

1.1.4. Seqüências monótonas

1.1.5. Seqüências limitadas

1.1.6. Propriedades.

1.2. Séries numéricas

1.2.1. Definição

1.2.2. Somas parciais

1.2.3. Convergência

1.2.4. Série geométrica e série harmônica

1.2.5. Resto de uma série

1.2.6. Operações com séries, propriedades

1.2.7. Testes de convergência: termo geral, comparação, integral, razão, raiz.

1.2.8. Séries alternadas: definição, exemplos, convergência, convergência absoluta, teste de Leibniz.

Unidade 2: Séries de funções

2.1.Definição

2.2.Convergência pontual

2.3.Séries de potências: definição, convergência, raio e intervalo de convergência.

2.4.Convergência Uniforme

2.5.Derivação e integração de séries de potências

2.6.Séries de Taylor e séries de Mac-Laurin: definição, existência, convergência.

2.7.Métodos práticos para obtenção de séries de potências.

2.8.Séries de potências e equações diferenciais ordinárias.

Unidade 3: Números complexos. Funções Complexas Analíticas

3.1.Números complexos. Plano Complexo.

3.2.Forma Polar dos Números complexos. Potências e Raízes

3.3.Curvas e regiões no plano Complexo

3.4.Funções de uma variável Complexa. Limite. Derivada. Função Analítica

3.5.Equações de Cauchy-Riemann

3.6.Funções Complexas Elementares: Funções polinomiais, racionais, exponenciais, Logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.

Unidade 4: Integração Complexa

4.1.Integral de linha no plano Complexo

4.2.Teorema da integral de Cauchy

4.3.Existência da integral indefinida

4.4.Formula da Integral de Cauchy

Unidade 5: Série de Potências. Cálculo de Resíduos

5.1.Series de Potências

5.2.Series de Taylor

5.3.Séries de Laurent

5.4.Convergência Uniforme

5.5.Singularidades e Zeros

5.6.Cálculo de Resíduos e Aplicações

5.7.Resíduos

5.8.Teorema do Resíduo. Polos

5.9.Cálculo de integrais reais

BIBLIOGRAFIA:

  1. APOSTOL, Tom M; Cálculo - Editora Reverté Ltda, 1979. v. 1.

  2. ÁVILA, Geraldo. Funções de uma Variável. 3. ed. Livros Técnicos e Científicos Ed. 1982. v. 2.

  3. CHURCHILL, Ruel V. Variáveis complexas e suas Aplicações. Ed. Mc Graw-Hill. 1975.

  4. KREYSZIG, Ervin. Matemática Superior. 2. ed. Livros Técnicos e Científicos Ed. 1985 v. 3, 4.

  5. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica - Analítica. 2 ed. Editora HARBRA Ltda, 1986. v. 2.

  6. PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. 2 ed. Lopes da Silva Editora, 1990. v. 2.

  7. SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Editora Mc Graw-Hill, 1987. V. 2.