UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE MTM 5120 - CÁLCULO AVANÇADO

Pré-Requisito: MTM 5113

Nº de Aulas/Semanais: 04

Nº total de horas/aula: 72

Semestre: 97/1

Curso: Matemática Habilitação - Licenciatura

EMENTA: Funções Vetoriais. Funções Implícitas. Inversa de uma transformação. Mudança de Variável. Teorema de Stokes. Transformada de Laplace. Método de Frobenius para resolução de Equações Diferenciais Ordinárias. Séries de Fourier. Funções Ortogonais. Método de Separação de Variáveis em Equações Diferenciais Parciais.

OBJETIVOS GERAIS:

I - Propiciar ao aluno condições de:

1) Desenvolver sua capacidade de dedução;

2) Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

3) Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

4) Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

5) Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas

ao longo do curso.

6) Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

- Aumentar e aprimorar os conhecimentos dos alunos sobre Cálculo Vetorial e suas aplicações;

- Entender e utilizar ferramentas muito úteis para a solução de equações diferenciais e integrais

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1. Integrais de linha e de superfície:

1.1. Integrais de linha

1.1.1. A integral de linha de um campo escalar.

1.1.2. A integral de linha de um campo vetorial

1.1.3. Campos conservativos e a independência do caminho de integração

1.1.4. Teorema de Green

1.2. Integrais de Superfície

1.2.1. Área de superfície

1.2.2. Integral de Superfície de um campo

1.2.3. Teorema de Stokes

1.2.4. Teorema da Divergência de Gauus

2. Funções Implícitas, jacobianos e inversas de transformações:

2.1. Funções definidas implicitamente por um sistema de equações simultâneas; diferenciação

de funções implícitas; jacobiano. Teorema da Função Implícita.

2.2. A inversa de uma transformação e o Teorema da Função Inversa

2.3. Teorema da Mudança de Variáveis

 

3. Transformada de Laplace:

3.1. Introdução e aspectos históricos - O Heaviside (1850 - 1925)

3.2. Transformada de Laplace de funções simples e propriedades básicas. Convolução.

3.3. Aplicações às equações diferenciais, equações e função Gama.

4. Separação de Variáveis e Séries de Fourier

4.1. História da Matemática relacionada às séries de Fourier: Joseph Fourier

4.2. O Método de Separação de Variáveis.

4.3. Coeficientes de Fourier

4.4. Interpretação geométrica e Relações de Ortogonalidade

4.5. Convergência das séries de Fourier

5. A resolução de equações diferenciais pelo uso de séries:

5.1. Introdução e aspectos históricos

5.2. Solução de equações diferenciais por séries de potências

5.3. Pontos ordinários, pontos singulares e o Método de Frobenius para obtenção de soluções

de equações diferenciais. Aplicações.

Bibliografia:

1. Marsden, JE & Tromba, A. J. Cálculo Vetorial, 3ª ed, Addison - Wesley 1991

2. Kaplan, W. Cálculo Avançado, Vol. I e II. Ed. Edgard Blucher Ltda. 1972.

3. Williamson, R. E; Growell, R.H & Trotter, H F. Cálculo de Funções Vetoriais, Vol. I e II

L.T.C 1976.

4. Spiegel, Murray R. Cálculo Avançado Mc Graw - Hill - Coleção Schaum 1974

5. Bartle, Robert G Elementos de Análise Real Ed. Campus Ltda. 1983.

6. Spiegel, Murray R. Transformadas de Laplace Mc Graw - Hill - SP, 1971.

7. Spiegel, Murray R. Análise de Fourier Mc Graw - Hill, Coleção Schawn 1976.

8. Iório, Valéria. EDP, Um curso de Graduação. Coleção Matemática Universitária - IMPA 1989.

9. Kreyszig, Erwin Advanced Engineering Mathematics, 7 th Ed. John Wiley & Sons, Inc 1993.

10. Boyce, W E & Diprima. R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de

Contôrno, 5ª ed. Ed. Guanabara Koogan 1994.