UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MTM 5167 - FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA CONTROLE E AUTOMAÇÃO

PRÉ-REQUISITO(S): MTM 5163

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108

SEMESTRE: 91.1

CURSO(S): Engenharia de Controle e Automação Industrial

EMENTA: Números Complexos. Séries Numéricas. Séries de Potências. Funções Analíticas. Integração Complexa. Séries de Laurent. Transformação conforme e aplicações. Resíduos e aplicações ao Problema de Controle. Séries de Fourier. Transformadas Integrais e Aplicações aos Problemas de Controle e Automação. Equações Diferenciais Parciais.

OBJETIVOS: Fornecer os fundamentos da teoria das funções de variável complexa visando o estudo das Transformações Integrais (cálculo Operacional) e suas aplicações a diversos problemas, em especial, problemas de controle e Automação. Problemas clássicos da física-matemática também serão abordados através de sua formação via Equações Diferenciais Parciais.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICOS:

I. Números Complexos e Séries

- Noções de Análise Complexa: Números complexos (definição, operações, conjugado, módulo); representação geométrica de regiões do plano complexo; forma polar e exponencial dos números complexos; potências e raízes; funções complexas de variáveis complexa; limite e continuidade.

- Séries Numéricas: Seqüências; definição, convergência, Séries especiais (geométricas e harmônicas), operações com séries, propriedades, testes de convergência (termo geral, comparação, da integral, da razão e raiz), convergência absoluta, séries alternadas, teste de Leibnitz.

- Séries de Potência: Noções gerais sobre séries de funções; definição de série de potência; raio e disco de convergência; séries de Taylor e Mac-Laurin; derivação e integração de séries de potência; aplicações das séries de potências (cálculo de integrais aproximadas; resolução de equações diferenciais).

II. Funções de uma Variável Complexa

- Funções complexas elementares (funções polinomiais, racionais, exponencial, logarítmica, trigonométricas e hiperbólicas);

- Funções Analíticas. Equações de Gauchy-Riemann;

- Integração Complexa e a fórmula integral de Cauchy (Séries de Taylor e de Laurente);

- Transformação conforme e suas aplicações: condutores, capacitores etc;

- Cálculo de integrais por Resíduos;

- Aplicações ao Problema de Controle;

III. Transformadas Integrais

- Séries de Fourier;

- Propriedades da Série de Fourier e aplicações;

- Transformada Integral de Fourier;

- Transformada Inversa de Fourier;

- Teorema da convolução;

- Transformada inversa de Laplace;

- Aplicações aos Problemas de Controle e Automação.

IV. Noções Sobre Equações Diferenciais Parciais

- Definição; exemplo; solução; equações diferenciais parciais de 1ª ordem lineares (resolução pelo método de Lagrange); equações com derivadas parciais em relação apenas a uma das variáveis; equações diferenciais parciais de 2ª ordem lineares (resolução pelo método de separação de variáveis).

V) BIBLIOGRAFIA:

A) Matéria Completa:

  1. KREYSZIG, E. - Matemática Superior - Vol. 3 e 4.

  2. KREYSZIG, E. Engeneering Mathematics.

  3. Wylie, and Barret, L. Advanced Engeneering. Mathematics.

B) Sequências e Séries Numéricas

  1. LEITHOLD - O Cálculo - Vol. 2.

  2. AVILA, Geraldo. Cálculo 2.

  3. SIMMONS, G. - Cálculo e Geometria Analítica - Vol. 2.

  4. APOSTOL: Cálculus v. 1.

C) Variáveis Complexas

  1. CHURCHIL, R. Variáveis Complexas e suas Aplicações.

  2. AVILA, Geraldo. Funções de uma Variável Complexa.

  3. COLWELL - MATHEUS. Introdução às Variávis Complexas.

D) Equações Diferenciais Parciais

  1. MEDEIROS, L. A. Andrade, N: Iniciação às Equações Diferenciais Parciais.

  2. BOYCE - Diprima: Equações Diferenciais Elementares e Problemas com Valores de Fronteira.

  3. SPIEGEL, M. Applieda Differential Equations

  4. ZACHMANOGLOU, E. Thou. Introduction to Partial Differential Equations With Applications. (Equações de 1a e 2a ordem).

  5. ABUNAHMAN, S. Equações Diferenciais. (Equações Parciais de 1a ordem).

E) Equações Diferenciais Ordinárias com Séries de Potências:

  1. BOYCE - Diprima: Equações Diferenciais Elementares e Problemas com Valores de Fronteira.

  2. SPIEGEL, M. Applieda Differential Equations

  3. AYRES, F. Equações Diferenciais (Coleção Schaum)

F) Séries e Transformadas de Fourier

  1. SPIEGELS. Análise de Fourier. Coleção Schaum

  2. WEIMBERGER, H. A First Course im Partial Differential Equations.