UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DA DISCIPLINA - MTM 5169 CÀLCULO 2A

Disciplina: MTM 5169: Cálculo 2A

Pré-Requisito:

No de Horas-Aulas Semanais: 06

No Total de aulas: 108

Curso: Engenharia de materiais

EMENTA: Funções de várias variáveis: Funções vetoriais. Derivadas parciais: gradiente, derivação implícita, máximos e mínimos. Integração múltipla: integral dupla e tripla, teorema de Fubini, mudança de variáveis. Cálculo vetorial: rotacional e divergente, campos conservativos, Teorema de Green.

Objetivos:

Ao concluir a disciplina o aluno estar apto a:

  1. trabalhar com funções de várias variáveis e utilizar estes conhecimentos na resolução de problemas aplicados à engenharia;

  2. aplicar os conceitos básicos de cálculo vetorial (rotacional, divergente, integrais de linha,...) em problemas aplicados.

Conteúdo Programático:

1. Funções de várias variáveis

Espaço  n

Produto escalar, norma, perpendicularismo.

Noções básicas de topologia: conjuntos abertos, ponto de acumulaçao.

Funçôes de  n em  n

Curvas.

Continuidade, derivabilidade e integrabilidade de curvas.

Comprimento de curva.

Funções de duas e três variáveis a valores reais.

Gráfico e curvas de nível para funções de duas variáveis.

Superfícies de nível para funções de três variáveis.

Limite e continuidade.

2. Derivadas parciais

Definição de derivadas parciais.

Definição de função diferenciável.

A diferencial.

Plano tangente e reta normal.

Gradiente, interpretação geométrica,

Regra da cadeia.

Derivação implícita.

Derivada direcional.

Derivadas parciais de ordem superior.

Teorema de Schwartz.

Polinômio de Taylor.

Fórmulas de Taylor com resto de Lagrange e com resto integral.

Máximos e mínimos.

3. Integração múltipla

Somas de Riemann.

Definição de integral dupla e tripla.

Propriedades da integral.

Teorema de Fubini.

Mudança de variáveis.

Coordenadas polares.

Coordenadas esféricas e cilíndricas.

Massa, centro de massa, momento de inércia.

4. Cálculo vetorial - 1

Campos vetoriais.

Rotacional e divergente.

Integrais de linha.

Independência de parâmetro.

Campos conservativos.

Integrais de linha em campos conservativos.

Função potencial.

Condições equivalentes para campos conservativos (existência de potencial).

Teorema de Green e da divergência no plano.

 

Bibliografia:

01. AYRES, Frank Jr. Cálculo Diferencial e Integral. Mc Graw-Hill.

02. BAYPAI, A. C. Mustos, L.R. Walter. D. Matemática para Engenharia - Hemus.

03. GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Cálculo e suas aplicações.

04. LANG, Serg - Cálculo - Ao Livro Técnico S/A.

05. LEITHOLD, Louis - O Cálculo com Geometria Analítica - Harbra.

06. MOISE, Edwin E. O Cálculo - Edgar Blucher Ltda.

07. PINZON, Alvaro - Cálculo Integral - Coleción Harper.

08. PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral - vol. I e II - MIR.

09. SIMONS, George F. - Cálculo com Geometria Analítica - Mc Graw-Hill.

10. FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian - Cálculo B - Editora Mc Graw-Hill.