UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5214 - FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA ELEMENTAR A
PRÉ-REQUISITO(S): Introdução a Algebra
Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS: 04
Nš TOTAL DE HORAS-AULA: 72
SEMESTRE: 87.1..........
CURSO(S): Matemática
EMENTA: Noções de lógica matemática. Cálculo proposicional. Regras de inferência. Demonstrações diretas, indiretas e formais. Cardinalidade. Aritmética dos cardinais.
OBJETIVOS: Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de:
- conceituar e analisar valor verdade de proposição;
- resolver operações lógicas e elaborar tabelas-verdade;
- demonstrar implicações e equivalências lógicas;
- verificar a validade de argumentos;
- aplicar regras de inferência em demonstrações;
- verificar validade de argumentos;
- aplicar regras de inferência em demonstrações;
- identificar e aplicar quantificadores;
- demonstrar propriedades de inclusão e operações entre conjuntos;
- identificar relações e demonstrar suas propriedades;
- identificar funções e demonstrar suas propriedades;
- conceituar conjuntos equivalentes e enumeráveis e demonstrar propriedades;
- conceituar e aplicar propriedades da aritmética cardinal;
- identificar conjuntos ordenados e demonstrar suas propriedades;
- definir e operar com números ordinais aplicando suas propriedades;
- aplicar axioma da escolha e demonstrar o teorema da boa ordem.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1. Noções de Lógica Matemática
1.1. Proposições: conceito e notação; princípios da lógica; valor verdade de uma proposição; proposições simples e compostas.
1.2. Álgebra das proposições: conectivos; tabelas verdade; possibilidades lógicas; negação de uma proposição; conjunção; disjunção; condicional e bicondicional; tautologias e contradições; equivalências e implicações lógicas; leis da álgebra das proposições.
1.3. Argumentos: definição e validade: regras de inferência; demonstração de uma condicional; teorema de dedução; demonstração por "redução ao absoluto" e por contraposição. Aplicações.
1.4. Funções proposicionais e quantificadores: funções proposicionais e conjunto-verdade; quantificador universal e existencial.
2. Aritmética dos Cardinais
2.1. Conjuntos e subconjuntos: operações; produto cartesiano; relações e funções.
2.2. Números cardinais: conjuntos finitos, numeráveis e não-numeráveis; comparação entre conjuntos; definição de número cardinal; operações com cardinais e ordem dos números cardinais.
2.3. O teorema da boa ordenação: números ordinais; comparação; operações; cardinalidade (hipóteses do contínuo).
2.4. O axioma da escolha e equivalêntes.
3. O método axiomático
3.1. Escolha de sistemas axiomáticos; consistência e completude.
BIBLIOGRAFIA:
Suppes - Introducion a La Lógica Simbólica;
Castrucci - Introdução à Lógica Matemática;
Mendelson - Introdução to Mathematical Logic;
Lipschutz - Teoria dos Conjuntos;
Melo Filho, Edgar - Teoria dos Conjuntos.