UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5231 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS I
PRÉ-REQUISITO: MTM 5201
Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08
Nš TOTAL DE HORAS AULA: 144
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Polinômios; irredutibilidade sobre corpos; teorema de Bézout; os de 1O, 2O e 3O grau; métodos falsi e de Newton (sobre IR); Grupo de Galois do corpo de decomposição de f; noção de variedade algébrica . Estudo dos Sn em várias "aparições". Automorfismos de espaços vetoriais. IR é corpo rígido. Aut C @
Z2
OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:
- Desenvolver sua capacidade de dedução.
- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
- Desenvolver seu espírito crítico e criativo.
- Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
- Organizar comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
OBJETIVO ESPECÍFICO:
Aproximar o aluno às noções e técnicas algébricas fundamentais tanto para posterior desenvolvimento da teoria de Galois quanto para o estudo aprofundado da aritmética de conjuntos numéricos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
I - Anel de polinômios sobre um corpo IK
- IK [x] é domínio de integridade.
- O algorítmo da divisão
- O teorema de Bézout.
- Métodos falsi e de Newton para determinação de raízes.
- IK[x] é anel principal. Resultado não verificado se estivermos trabalhando com coeficientes num domínio, por exemplo em Z [x].
- IK[x] verifica a condição de cadeia ascendente a não verifica a condição de cadeia descendente.
- Existência do mdc.
- Polinômios irredutíveis e ideais máximais.
- Lema de Gaus.
- Caracterização de raízes racionais para polinômios com coeficientes inteiros.
- Critério de Einsenstein.
- Decomposição em frações parciais.
- Resultante e discriminante.
II - Extensões de corpos
- Elemento algébrico e elemento transcendente.
- A transcendência de e (demonstrar) e de p
(dar referências).
- O critério de Liouville para obter elementos transcendentes.
- Extensões algébricas finitas e simples.
- O conjunto dos números algébricos é um corpo enumerável.
- Teorema: toda extensão finita é simples.
- Existência de corpos de decomposição de f.
- Isomorfismos entre corpos de decomposição de f.
- Definição de Gal (f, Q).
III - GRUPO DE AUTOMORFISMOS DE UM CORPO
- Q e IR são corpos rigídos. Aut C @
Z2.
- Cálcular efetivamente Aut ( Gal(f, Q)) para vários polinômios f.
- Isometrias, realização do Sn como grupo de isometrias.
- Exemplos de polinômios para os quais o grupo de automorfismos de seu corpo de raízes é isomorfo ao Sn (n £
5).
- Resolubilidade de f por meio de radicais versus solubilidade do grupo Aut(Gal(f, Q)
IV - Aplicações
- Construção com régua e compasso .
- Quadratura do Circulo.
- Trisecção de um ângulo.
- Duplicação do cubo.
- Polígonos regulares de n-lados que podem ser construidos com régua e compasso.
V - Variedade Algébrica
- Definição e exemplos
- Teorema de Bézout em duas variáveis.
- Teorema do hexágono de Pascal.
- Teorema de Papus.
BIBLIOGRAFIA
- Herstein: T. - Tópicos de Álgebra. Ed. Polígono. 1970/
- Gonçalves: A. - Introdução à Álgebra. Projeto Euclides. IMPA: 1979.
- Lequain: Y. Garcia A. - Álgebra: Um Curso de Introdução. Projeto Euclides. IMPA. 1988.