UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5232 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS II
CÓDIGO: MTM 5232
SEMESTRES: 97/2
Nš DE HORAS/AULA SEMANAIS: 08
Nš TOTAL DE HORAS-AULA: 144
CURSO(S): Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Ação de Estruturas - visão geométrica. Ação de grupos finitos e infinitos em Rn, Sn, Grupos em GLn, C, R, elementos da Teoria de representações. Ação de anel - estrutura de módulo. Ação de corpo - estrutura do espaço vetorial. Ação de C e a geometria do plano. Ação de H e a geometria de R3 e R4. Classes positivamente definidas: subestruturas, produtos cartesianos, imagens homomorfas. Extensão de corpos via quocientes em K[x].
OBJETIVOS:
Objetivos Gerais
- Propiciar ao aluno condições de:
1. Desenvolver sua capacidade de dedução.
2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo.
5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
- Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolver problemas em Matemática.
Objetivos Específicos
Propiciar ao aluno condições de:
- Familiarizar-se com a terminologia e conceituação básica da teoria de módulos.
- Perceber a importância da estrutura de módulo através de suas aplicações ao estudo de grupos abelianos finitamente gerados, formas canônicas de operadores lineares em um espaço vetorial de dimensão finita e ao estudo de representações de grupos.
- CONTEÚDO PROGRAMATICO:
- Anéis e Ideais
- Anéis
- Homomorfismos de anéis, ideais e anéis quociente
- Soma e intersecção de ideais e ideal gerado por um conjuto.
- Módulos
- Conceitos básicos
- Seqüências exatas
- Somas e produtos diretos
- Módulos livres
- Módulos sobre domínios de integridade
- Módulos finitamente gerados sobre domínios principais
- Módulos de torção
- Teorema dos divisores elementares
- Teorema dos fatores invariantes
- Aplicações
- Classificação de grupos abelianos finitamente gerados
- Forma racional e forma de Jordan de um operador linear definido num espaço vetorial de dimensão finita.
- Criação de corpos a partir de anel.
- Representação de Grupos
- Definição
- Lema de Schur
- Representações Irredutíveis
- Representações Equivalentes
- Grupos clássicos: ortogonais, unitários, simpléticos.
- Representações matriciais de Complexos e quatérnios.
- Classes Positivamente Definidas
- Subestruturas
- Produto de Estruturas
- Imagens homomorfas
- Extensão de corpos via quocientes em IK [x].
BIBLIOGRAFIA:
- Milies, F. C. P., Anéis e Módulos, Publicações do IME-USP, SP, 1972.
- Milies, F. C, P, Anéis de grupo, IV de Álgebra, SP, 1976.
- Gonçalves, A., Tópicos em Representação de grupos, 9o Colóquio Brasileiro de Matemática, Poços de Caldas, 1973.
- Azevedo, A., Módulos sobre Domínios Principais, 8o Colóquio de Matemática , Poços de Caldas, 1971.