UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 

PROGRAMA DE MTM 5254 - ALGEBRA LINEAR I

 

PRÉ-REQUISITO(S): MTM5503

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 5

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 90

SEMESTRE:

CURSO(S): Licenciatura em Matemática

EMENTA: Matrizes. Decomposição P L U de uma matriz. Solução de sistemas lineares mxn. Espaços vetoriais. Transformações lineares. Matriz de uma transformação. História da Matemática relacionada com o conteúdo.

 

OBJETIVO ESPECÍFICOS: Propiciar aos alunos condições de:

a) resolver, por eliminação gaussiana, sistemas lineares de pequeno porte.

b) adquirir base teórica sobre a teoria de espaços vetoriais

c) analisar uma transformação linear a partir de sua ação nos vetores de uma base

d) Identificar matrizes especiais. Adquirir habilidade em operar com matrizes.

OBJETIVOS GERAIS

I - Propiciar ao aluno condições de:

  1. Desenvolver sua capacidade de dedução

  2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

  3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

  4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

  5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas ao longo do curso.

  6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.

 

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1 – Matrizes

  1. Definição de matrizes especiais (diagonal, triangulares, simétrica, antissimétrica)

  2. Operações com matrizes: adição, multiplicação e multiplicação por escalar. Transposta de uma matriz.

  3. Matrizes quadradas: determinante, regra de Cramer, matrizes inversíveis.

2 - Sistemas Lineares

  1. Definição e exemplos

  2. Matriz de coeficientes de um sistema

  3. Operações Elementares x Matrizes Elementares

  4. Escalonamento x Decomposição PLU

  5. Posto linha

  6. Graus de liberdade de um sistema.

  7. Matriz aumentada de um sistema não homogêneo e sua reduzida por linhas.

  8. Observações sobre resolução numérica: exemplos de matrizes mal condicionadas.

  9. Uso de softwares

 

3 - Espaços Vetoriais

a) Definição de espaço vetorial sobre um corpo e exemplos.

b) Subespaços vetoriais

c) Vetores linearmente dependentes x vetores linearmente independentes

d) Vetores geradores, base e dimensão de um espaço vetorial finito

e) Coordenadas de vetor em relação a uma base

f) Soma e interseção de subespaços

4 - Transformação Linear

a) Exemplos e definição

b) Matriz de uma transformação linear entre espaços vetoriais finitos fixadas as bases - Teorema de Equivalência.

c) Mudança de bases no domínio ou contradomínio da transformação - esquema gráfico

d) Núcleo e imagem. Isomorfismo

e) Espaço linha e espaço coluna de uma matriz

f) Operadores lineares. Exemplos em R3 : rotação em torno de um eixo (que passa pela origem), reflexão em relação a um plano (que passa pela origem) etc.

 

Bibliografia

1) J. L. Boldrini et al., Álgebra Linear, 3ª ed., Harbra, São Paulo, SP. 1984.

2) S. Lipschutz, Álgebra Linear, 3ª ed. Makron Books, São Paulo, SP. 1994.

3) B. Noble e J. W. Daniel, Álgebra Linear Aplicada, 2ª ed. Prentice Hall do Brasil, Rio de Janeiro, RJ, 1986.

4) K. Hoffman e R. Kunze, Álgebra Linear, 2ª ed. Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, RJ, 1979

5) G. Strang, Linear Algebra and its Applications, 3ª ed. Harcourt Brace Jovanovich, Orlando, FL, 1988.

6) J. Pitombeira de Carvalho, Álgebra Linear: introdução, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, RJ, 1977.

7) E.L. Lima, Algebra Linear, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, RJ, 1995.