UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 

 

PROGRAMA DE MTM 5255 - ÁLGEBRA LINEAR II

 

PRÉ-REQUISITO: MTM 5254

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 04

TOTAL DE HORAS-AULA: 72

SEMESTRES: 96/1

CURSO: Licenciatura em Matemática

 

 

EMENTA: Produto Interno. Bases Ortogonais. Função determinante. Autovalores e autovetores. Transformação autoadjunta. Transformações ortogonais e unitárias. Teorema de Schur. Teorema Espectral. Formas bilineares. Diagonalização de formas quadráticas. Identificação de cônicas. História da Matemática relacionada com o conteúdo.

 

OBJETIVOS: Propiciar ao aluno condições de:

- Desenvolver sua capacidade de dedução;

- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

- Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

- Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

- Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

 

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

 

1- Estudar operadores diagonalizáveis a partir de seus autovalores e respectivos autovetores.

2- Estudar propriedades dos operadores normais.

3- Conhecer algumas decomposições matriciais, seus aspectos teóricos e algumas aplicações práticas.

4- Identificar cônicas a partir da diagonalização de formas quadráticas.

5- Generalizar o conceito de produto escalar, estendendo os conceitos de ortogonalidade.

6- Identificar as propriedades da função determinante.

 

UNIDADE I – PRODUTO INTERNO

1.1 Produto escalar ( produto )

1.2 Definição e exemplos. Norma definida por produto interno

1.3 Desigualdade de Cauchy-Schwartz

1.4 Ângulo entre vetores. Ortogonalidade

1.5 Projeção ortogonal sobre um espaço finitamente gerado

1.6 Bases ortogonais. Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

1.7 Matrizes ortogonais. Reflexões de Householder

1.8 Matriz de um produto interno - propriedades.

 

 

UNIDADE II - Autovalores e Autovetores de um Operador Linear

 

1.1. Definição. Exemplos.

1.2. Polinômio característico. Multiplicidade algébrica x multiplicidade geométrica do autovalor. Polinômio mínimo.

1.3. Autoespaço. Subespaço invariante por um operador.

1.4. Operador diagonalizável. Potências de uma matriz diagonalizável.

1.5. Matrizes complexas: simétrica x hermitiana, ortogonal x unitária, anti-simétrica x anti-hermitiana.

1.6. Transformações de Similaridade: Forma de Schur, Forma Diagonal.

 

 

UNIDADE III – Transformações Multilineares

 

3.1. Formas Bilineares

3.1.1. Forma quadrática associada a uma forma bilinear simétrica.

3.1.2. Diagonalização de formas quadráticas. Identificacão de cônicas.

 

3.2. A função determinante.

 

BIBLIOGRAFIA:

 

  1. Carl B. Boyer, História da Matemática, São Paulo: Edgard Blusher, 1994

  2. Elon L. Lima, Algebra Linear, Rio de Janeiro: SBM, 1995.

  3. Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, 3. ed., Orlando: Harcourt Brace Jovanovich, 1988.

  4. Howard Anton and Chris Rorres, Elementary Linear Álgebra, Applications Version, New York: Wiley, 7. ed., 1993.

  5. Seymour Lipschutz, Álgebra Linear, São Paulo: Makron Books, 3. ed. 1994 .