UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE MTM 5256 - ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL I

PRÉ-REQUISITO: 5821

N^o DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08

TOTAL DE HORAS-AULA: 144

SEMESTRES: 97/1

CURSO: Matemática, Habilitação; Bacharelado em Matemática e Computação Científica.

EMENTA: Análise matricial. Normas de matrizes. Decomposição em valores singulares. Condição de matriz. Sensibilidade numérica de sistemas de equações lineares. Scaling. Refinamento iterativo. Ortogonalização (Gram-Schmidt. Householder, Givens). Matrizes especiais (de banda. tridiagonal em blocos etc.) Matrizes esparsas. Métodos iterativos clássicos (Jacobi. Gauss-Seidel. SOR, Semi-iterativo de Chebishev etc.). Métodos de Gradiente conjugado. Pré-condicionamento de matrizes. Métodos de Newton inexato. Métodos quase-Newton.

OBJETIVOS: Propiciar ao aluno condições de:

Desenvolver sua capacidade de dedução;

Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas ao longo do Curso;

Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Revisar conceitos da Álgebra Linear

Estudar algoritmos para resolução de sistemas lineares de grande porte esparsos.

Estudar métodos de ortogonalização aplicados ao problema de quadrados mínimos.

Determinar os algoritmos específicos para a resolução de sistemas lineares de um ponto de vista computacional.

Definir métodos especializados para o estudo dos sistemas lineares

Estudar a teoria envolvida no estudo dos sistemas lineares em relação a métodos e algorítmos.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

UNIDADE I - Análise Matricial

1.1. Aritmética de ponto flutuante

1.2. Normas de vetores e matrizes

1.3. Decomposição em valores singulares.

1.4. Projeções Ortogonais.

1.5. Sensibilidade dos sistemas lineares quadrados.

UNIDADE II - Sistemas Lineares

2.1. Decomposição LU. Pivotamento.

2.2. Sistemas definidos positivos.

2.3. Sistemas com estrutura de banda. Sistemas blocados.

UNIDADE III - Ortogonalização e método dos quadrados mínimos.

3.1. Transformações de Householder e Givens.

3.2. Decomposição QR. Pivotamento.

3.3. Problemas de quadrados mínimos.

UNIDADE IV - Métodos iterativos para sistemas lineares.

Métodos iterativos básicos: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR(w), SSOR com aceleração de Chebyshev.

4.2. Métodos de Gradiente conjugado. Precondicionamento de matrizes. Fatoração incompleta.

UNIDADE V - Sistemas não lineares. Método de Newton e Newton inexatos.

BIBLIOGRAFIA:

Golub, G. e Van Loan, C. F.; Matrix Computations, 3. Ed. Johns Hopkins University Press, Baltimore, MA, 1996.

Demmel, J. W.; Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia, PA, 1997.

Trefethen, L., and Bau, D.; Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia, PA, 1997.

Kelley, C. T.; Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. SIAM, Philadelphia, PA, 1995.

Anderson, E. et al.; LAPACK Users’Guide, 2. Ed. SIAM, Philadelphia, PA, 1995.

Matlab User’s Guide. The MathWorks Inc., Natick, MS, 1992.