UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA MTM 5262 - ÁLGEBRA II

PRÉ-REQUISITO(S): MTM 5261

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108

CURSOS: Bacharelado em Matemática e Computação Científica.

EMENTA: Grupos. Subgrupos, classes laterais e Teorema de Lagrange. Subgrupos normais e grupos quociente. Homomorfismos de grupos. Grupos cíclicos. Grupos de permutações. Teorema de Cayley. Teorema de Cauchy. Teoremas de Sylow (aplicações). Grupos simples. Grupos solúveis.

OBJETIVOS DO CURSO: Propiciar ao aluno condições de:

- Desenvolver sua capacidade de dedução;

- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

- Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

- Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

- Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVO DA DISCIPLINA:

Propiciar ao aluno condições de trabalhar com a estrutura de grupo aplicando resultados relevantes da teoria.

II - CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1. Grupos e Subgrupos

• Definição de grupo e grupo abeliano. Propriedades elementares de um grupo.

• Exemplos de grupos.

• Raízes da Unidade.

• O grupo S_n.

• Grupo de Rotações.

• Grupos Diedrais.

• Definição de subgrupo, e condições equivalentes a definição.

• Exemplos.

• Determinação dos subgrupos de Z.

• Subgrupo gerado por um conjunto e grupos cíclicos.

• Ordem de elemento e suas propriedades.

2. Classes Laterais e o Teorema de Lagrange

• Definição das classes laterais do subgrupo H do grupo G. Relações de equivalência (à direita e à esquerda) definidas por H em G.

• A partição formada pelas classes de equivalência.

• Cálculo de classes laterais.

• Cardinalidade das classes laterais e a definição de índice.

• Teorema de Lagrange e seus corolários. Pequeno teorema de Fermat.

3. Subgrupos Normais e Grupos Quociente

• Definição de subgrupo normal. Exemplos de subgrupos normais.

• Operações entre classes laterais.

• Grupo Quociente.

• Cálculo de elementos do grupo quociente.

• Propriedades.

• Grupos Simples: definição, exemplos e propriedades.

4. Homomorfismos de Grupos

• Definição e exemplos.

• Propriedades: imagem do elemento neutro, do inverso de elemento, de um subgrupo. Composição de homomorfismos, etc.

• Definição de núcleo, normalidade do núcleo, caracterização da injetividade pelo núcleo.

• Propriedades da imagem inversa.

• Teorema dos homomorfismos e seus corolários.

• Teorema da Correspondência.

• Correspondência 1-1 entre subgrupos de G que contém H e subgrupos de G / H.

• O grupo dos automorfismos, subgrupo dos automorfismos internos.

• Classificação, via isomorfismo, dos grupos cíclicos finitos e infinitos.

• Teorema de Cauchy.

5. Grupos de Permutações e o Teorema de Cayley

• Demonstração do Teorema de Cayley.

• Elementos notáveis de S_n: r-ciclos (comprimento e ordem), ciclos disjuntos, transposições.

• Fatoração de um elemento não trivial de S_n como produto de ciclos disjuntos.

• Geradores de S_n.

• Permutação par e permutação ímpar.

• Propriedades do grupo A_n.

6. Teorema de Sylow (aplicações)

• Aplicações do primeiro Teorema de Sylow.

• Existência de subgrupos de ordem potência de primo e quantidade de tais subgrupos.

• Exemplos.

• Estudo dos grupos simples de ordem menor que 60.

7. Grupos Solúveis

• Definições e exemplos.

• Solubilidade dos p-grupos.

• Resultados sobre solubilidade.

VI – BIBLIOGRAFIA

1. Domingues, H. H. - Álgebra Moderna, 2ª ed., Atual Editora Ltda, SP, 1982.

2. Garcia, A. e Lequain, Y. – Álgebra: um curso de introdução, IMPA, RJ, 1988.

3. Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, IMPA, RJ, 2002.

4. Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, IMPA, RJ, 1999.

5. Hefez, A. - Curso de Álgebra, vol. I, Coleção Matemática Universitária, IMPA/CNPq, RJ, 1993.

6. Herstein, I. - Tópicos de álgebra , Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono., 1970.

7. Monteiro, L. H. J. - Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos, RJ, 1978.