UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
PROGRAMA DISCIPLINA – MTM 5263
CÓDIGO: MTM 5263
PRÉ-REQUISITO: MTM 5262 - Álgebra II
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06
TOTAL DE HORAS-AULA: 108
SEMESTRE: 2006/1
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica.
EMENTA: Anel de polinômios: algoritmo da divisão, fatoração única, critérios de irredutibilidade, polinômios irredutíveis e ideais maximais. Extensões algébricas dos racionais. Construção por régua e compasso. A correspondência de Galois. Solubilidade por meio de radicais.
Objetivos Gerais: Propiciar ao aluno condições de:
- Desenvolver sua capacidade de dedução;
- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;
- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;
- Desenvolver seu espírito crítico e criativo;
- Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática
apresentadas ao longo do Curso;
- Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
Objetivos Específicos: Ao fim do curso o aluno deve ser capaz de:
identificar as diversas situações em que se manifesta uma correspondência galoisiana.
resolver questões em que se aplica a teoria de corpos.
Conteúdo programático:
1) Anéis de polinômios.
O algoritmo de Euclides para polinômios.
Ideais em anéis de polinômios.
Polinômios irredutíveis e Critérios de Irredutibilidade.
Construção de corpos a partir de polinômios irredutíveis.
Fatoração.
2) Extensões de Corpos.
Exemplos básicos.
Elementos algébricos e transcendentes.
Extensões algébricas.
A característica de um anel.
Adjunção de raízes.
Corpo de decomposição.
Extensões simples e o Teorema do Elemento Primitivo.
Extensões separáveis.
3) Construção por régua e compasso.
Quadratura do círculo.
Duplicação do cubo.
Trisecção de ângulo.
Construção de polígonos regulares.
4) Correspondência de Galois e Solubilidade.
Extensões galoisianas.
Extensões normais.
O grupo de Galois de um polinômio.
Teorema da Correspondência de Galois.
Exemplos.
Extensões radicais.
Solubilidade por radicais.
A insolubilidade da quíntica geral.
BIBLIOGRAFIA:
1. P.M. Cohn, ALGEBRA vol. II, Wiley & Sons, Londres, 1977.
2. A. Gonçalves, INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA, IMPA, RJ, 1999.
3. I. Herstein, TÓPICOS DE ÁLGEBRA, Livros Técnicos e Científicos Editora Polígono, 1970.
4. N. Jacobson, BASIC ALGEBRA I, Freeman, San Francisco, 1974.
5. Kaplansky, INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS, Notas de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1969.
6. I. Stewart, GALOIS THEORY, Chapman & Hall, terceira edição, 2002.