UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5311 - ANÁLISE I
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica, Especialização em Matemática
SEMESTRE: 94/1.................................
PRÉ-REQUISITO: MTM 5818
Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08
TOTAL DE HORAS-AULA: 144
EMENTA: Espaços Métricos. Conceitos Topológicos Básicos. Limite e Continuidade. Diferenciação em Várias Variáveis. Funções Implícitas, Máximo. Caminhos e Curvas.
OBJETIVOS:
Objetivos Gerais
I - Propiciar ao aluno condições de:
1.Desenvolver sua capacidade de dedução.
2.Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3.Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4.Desenvolver seu espírito crítico e criativo.
5.Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
6.Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.
III - Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolver problemas novos em Matemática.
Objetivos Específicos
Propiciar ao aluno condições de:
- Dominar com rigor e detalhe os conceitos básicos de espaços métricos e os teoremas clássicos da Análise Matemática;
- Desenvolver sua capacidade de aplicar as técnicas e resultados fundamentais da Análise à resolução de problemas.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
- Espaços Métricos. Conceitos Topológicos Básicos.
O sistema dos números reais. Ínfimo e supremo. Seqüências de Cauchy. Lim Inf e lim Sup. O Espaço Euclidiano. Normas, Produtos Internos e Métricas. Conjuntos abertos; fechados; interior de um conjunto, pontos de acumulação, fecho, fronteira. Espaços Métricos Completos. Séries de números e vetores. Conjuntos compactos, Teoremas de Bolzano -Weierstrass e Heine-Borel. Conjuntos conexos.
- Limite e Continuidade.
Limite e Continuidade em Espaços Métricos. Imagem de Compactos e Conexos. Limite de funções contínuas em conjuntos compactos. Teorema do Valor Intermediário. Continuidade uniforme. Convergências pontual e uniforme. O teste M de Weierstrass. Integração e diferenciação de séries. O Espaço das Funções Contínuas. Os Teoremas de Arzela-Asco- li, do Ponto Fixo e de Stone-Weierstrass.
- Diferenciação em Várias Variáveis, Caminhos e Curvas.
Diferenciabilidade. Representação Matricial. Continuidade das aplicações diferenciáveis, Caminhos diferenciáveis. Derivada direcional. Regra da Cadeia. Gradiente. Teorema do Valor Médio. Teorema de Taylor.
- Funções Implícitas, Máximos e Mínimos.
Teoremas da Função Inversa e Implícita. Conseqüências do Teorema da Função Inversa. O Lema de Morse. Extremos Locais, Extremos com restrições, Multiplicadores de Lagrange.
BIBLIOGRAFIA:
MARSDEN, J.; Hoffman, M. J.: Elementary Classical Analysis.; W. H. Freeman and Company; San Francisco; 1974.
BARTLE, R. G.: Elementos de Análise Real; Ed. Campos; 1983.
LIMA, E. L.: Curso de Análise, Vol. 2; Projeto Euclides (IMPA); RJ.
LOOMIS, L. H.; STERNBERG, S.: Advanced Calculus; Addison-Wesley Reading, Mass., 1968.
RUDIN, W.: Principles of Mathematical Analysis; McGraw-Hill; New York; 1976.
SPIVAK, M.: Calculus on Manifolds; Benjamin; New York; 1965.