UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 

PROGRAMA DE MTM 5311 - ANÁLISE I

CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica, Especialização em Matemática

SEMESTRE: 94/1.................................

PRÉ-REQUISITO: MTM 5818

Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08

TOTAL DE HORAS-AULA: 144

EMENTA: Espaços Métricos. Conceitos Topológicos Básicos. Limite e Continuidade. Diferenciação em Várias Variáveis. Funções Implícitas, Máximo. Caminhos e Curvas.

OBJETIVOS:

Objetivos Gerais

I - Propiciar ao aluno condições de:

1.Desenvolver sua capacidade de dedução.

2.Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.

3.Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.

4.Desenvolver seu espírito crítico e criativo.

5.Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.

6.Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.

III - Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolver problemas novos em Matemática.

Objetivos Específicos

Propiciar ao aluno condições de:

- Dominar com rigor e detalhe os conceitos básicos de espaços métricos e os teoremas clássicos da Análise Matemática;

- Desenvolver sua capacidade de aplicar as técnicas e resultados fundamentais da Análise à resolução de problemas.

 

 

 

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

- Espaços Métricos. Conceitos Topológicos Básicos.

O sistema dos números reais. Ínfimo e supremo. Seqüências de Cauchy. Lim Inf e lim Sup. O Espaço Euclidiano. Normas, Produtos Internos e Métricas. Conjuntos abertos; fechados; interior de um conjunto, pontos de acumulação, fecho, fronteira. Espaços Métricos Completos. Séries de números e vetores. Conjuntos compactos, Teoremas de Bolzano -Weierstrass e Heine-Borel. Conjuntos conexos.

- Limite e Continuidade.

Limite e Continuidade em Espaços Métricos. Imagem de Compactos e Conexos. Limite de funções contínuas em conjuntos compactos. Teorema do Valor Intermediário. Continuidade uniforme. Convergências pontual e uniforme. O teste M de Weierstrass. Integração e diferenciação de séries. O Espaço das Funções Contínuas. Os Teoremas de Arzela-Asco- li, do Ponto Fixo e de Stone-Weierstrass.

- Diferenciação em Várias Variáveis, Caminhos e Curvas.

Diferenciabilidade. Representação Matricial. Continuidade das aplicações diferenciáveis, Caminhos diferenciáveis. Derivada direcional. Regra da Cadeia. Gradiente. Teorema do Valor Médio. Teorema de Taylor.

- Funções Implícitas, Máximos e Mínimos.

Teoremas da Função Inversa e Implícita. Conseqüências do Teorema da Função Inversa. O Lema de Morse. Extremos Locais, Extremos com restrições, Multiplicadores de Lagrange.

BIBLIOGRAFIA:

MARSDEN, J.; Hoffman, M. J.: Elementary Classical Analysis.; W. H. Freeman and Company; San Francisco; 1974.

BARTLE, R. G.: Elementos de Análise Real; Ed. Campos; 1983.

LIMA, E. L.: Curso de Análise, Vol. 2; Projeto Euclides (IMPA); RJ.

LOOMIS, L. H.; STERNBERG, S.: Advanced Calculus; Addison-Wesley Reading, Mass., 1968.

RUDIN, W.: Principles of Mathematical Analysis; McGraw-Hill; New York; 1976.

SPIVAK, M.: Calculus on Manifolds; Benjamin; New York; 1965.