PRÉ-REQUISITO(S): MTM5863

Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 05

Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 90 h/a

CURSOS: Bacharelado em Matemática e Computação Científica.

OBJETIVOS DO CURSO: Propiciar ao aluno condições de:

- Desenvolver sua capacidade de dedução;

- Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

- Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

- Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

- Perceber e compreender o inter-relacionamento das diversas áreas da Matemática

apresentadas ao longo do Curso;

- Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVO DA DISCIPLINA: Propiciar ao aluno condições de:

.- Dominar e aplicar os conceitos relativos às funções de uma variável complexa.

1. Números complexos.
1. Introdução histórica, solução da equação de 3º grau.
2. Aritmética dos números complexos e representação geométrica.
3. Forma trigonométrica dos números complexos, fórmulas de De Moivre.
4. Forma exponencial dos números complexos.
5. Geometria no plano complexo.
2. Seqüências de números complexos.
1. Noções fundamentais da topologia do conjunto dos números complexos (C).
2. Convergência de seqüências em C.
3. Limites no infinito, plano complexo estendido.
4. A esfera de Riemann.
3. Funções de uma variável complexa.
1. Funções de uma variável complexa, domínios, limites, continuidade.
2. Exemplos de funções complexas de variável complexa: polinômios, transformação de Möbius, raízes n-ésimas.
3. Derivação de funções complexas, funções holomorfas, condições de Cauchy-Riemann.
4. Estudo das funções elementares

3.3.1 Funções polinomiais e racionais.

3.3.2 Transformação de Möbius e inversão.

3.3.3 Séries de potências.

3.3.4 Funções exponenciais e trigonométricas.

3.3.5 Função logaritmo, domínio (ramo).

3.3.6 Funções raiz n-ésima, domínios.

5. Aplicações conformes.
4. Integração no plano complexo.
1. Integrais de linha em C.
2. Teorema de Cauchy e aplicações.
3. Fórmula integral de Cauchy, analiticidade.
4. Teorema de Liouville, teorema fundamental da álgebra, princípio do módulo máximo, teorema da aplicação aberta.
5. Séries de Laurent.
6. Classificação de singularidades.
7. Teorema do resíduo e aplicações.
5. Tópicos adicionais.
1. Geometria das transformações conformes.
2. Aplicações das transformações conformes.
3. Continuação analítica.
4. Introdução às superfícies de Riemann.

BIBLIOGRAFIA:

1. ALHFORS, L.V., Complex analysis, 2^nded., Mc Graw-Hill , NY, 1966.
2. CHURCHILL, RUEL V. , Variáveis complexas e suas aplicações, Mc Graw- Hill, 1975.
3. HAUSER, ARTHUR A., Variáveis complexas com aplicações à física, Livros Técnicos e Científicos Ltda, 1972.
4. MARSDEN, J.E. e HOFFMAN, M.J. , Basic complex analysis, 2^nd ed., W.H.Freeman and Company, New York, 1973.
5. SOARES, MÁRCIO G., Cálculo em uma variável complexa, Coleção Matemática