UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5500 INTRODUÇÃO A GEOMETRIA
PRÉ-REQUISITO: MTM 5818
Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08
Nš TOTAL DE HORAS-AULA: 144
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Curvas em R (R )3n. Superfícies em R3 . Fibrado tangente. Campos vetoriais. Derivada covariante. Aplicação de Gauss. Curvatura. Formas diferenciáveis em R e sobre superfícies no R . Fibrado cotangente. Teorema de Stokes sobre superfícies mergulhadas em R . Método do referencial móvel sobre superfícies R. Conexão e Curvatura. Classificação das superfícies compactas usando cirurgia. Teorema de Grauss-Bonnet sobre superfícies em R.
OBJETIVOS:
PROGRAMA:
3
1 - Curvas em R
Introdução
Curvas Parametrizadas
Curvas Regulares, Comprimento de Arco
Teoria Local de curvas Parametrizadas pelo Comprimento de Arco (Curvatura, Torsão)
Forma Canônica Local
Inequação Isoperimétrica
2 - Superfícies em R3
Introdução: Superfícies Regulares, Imagem Inversa de Valores Regulares; Mudança de Parâmetros, Funções Diferenciais sobre Superfícies; O Plano Tangente; Aplicações Diferenciáveis entre Superfícies e a Derivada de uma Aplicação; A Primeira Forma Fundamental (métrica induzida); Área; Orientação de Superfícies; Exemplos de Superfícies não Orientáveis; Fibrado Tangente de uma Superfície; Campos Vetoriais sobre Superfícies; Derivada Covariante; Conexão de Levi-Civita sobre uma Superfície Mergulhada em R3 ; Transporte Parallelo; Curvatura; Geodesias; Propriedades de Geodesias; Aplicação Exponencial; Aplicação de Gauss; Segunda Forma Fundamental; Curvatura Média; Curvatura Gaussiana.
3 - Formas Diferenciais em R e sobre Superfícies Mergulhados em R
Introdução: Produto Exterior, Formas, Derivada Exterior; Formas Induzidas através de Aplicações (pull-back); Construção de Formas sobre uma Superfície Mergulhado em R3; Fibrado Cotangente de uma Superfície; Derivada Intrinseca de Formas; Complexo de DeRham; Teorema de Stokes.
4 - Método do Referencial Móvel sobre Superfícies
Equações de Estrutura de R; O Lema de Cartan e a Unicidade das Formas de Conexão; Aplicações a Superfícies em R; O Teorema de Gauss-Bonnet para Superfícies Compactas Mergulhadas em R.
5 - Classificação das Superfícies Compactas
Exemplos de Superfícies Compactas; Enunciado do Teorema de Classificação; Triangulação de Superfícies Compactas; Demonstração do Teorema de Classificação; Característica de Euler de uma Superfícies; Genuns de uma Superfície.
6 - Teorema de Gauss-Bonnet sobre Superfícies Compactos Mergulhadas em R
Teorema Local; Teorema Global.
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA:
DO CARMO, M.; Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, 1976
DO CARMO, M.; Método do Referencial Móvel, III Escola Latino Americano de Matemática (ELAM) IMPA, 1976.
DO CARMO, M.; Formas Diferenciais e Aplicações, IMPA Monografias em Matemática nš 37.
LIMA, E. L.; Espaços de Recobrimento, Colóquio Brasileiro de Matemática, 1977
MASSEY, W. S.; Algebric Topology, An Introduction, Springer-Verlang.
TAVARES, G.; Funções de Morse e Classificação de Superfícies, Colóquio Brasileiro de Matemática, 1979.
ZEEMANN, C. E.; Uma Introdução Informal à Topologia das Superfícies, IMPA Monografias em Matemática.