UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5504 - GEOMETRIA I
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
SEMESTRE: 95.1
PRÉ-REQUISITO: MTM 5500
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08
TOTAL DE HORAS AULA: 144
EMENTA: Ações de grupos. Ações descontinuas. Geometria Euclideana. Geometria esférica. Geometria Hiperbólica. Holonomia. Curvatura intrínseca. Grupo fundamental. Espaços de recolhimento. Superfícies de curvatura constante.
OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:
1 - Desenvolver sua capacidade de dedução.
2 - Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3 - Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4 - Desenvolver seu espírito crítico e criativo
5 - Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
6 - Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Propiciar ao aluno condições de:
1) Estudar estruturas geométricas onde não se fez necessário o conceito de variedade diferenciável. Desta forma, introduzir os elementos fundamentais associados a uma determinada estrutura geométrica definida sobre uma superfície e estender as suas propriedades e conseqüências.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1. Introdução.
Ações de Grupos: Definição e exemplos.
Ação descontínua
Região fundamental de uma ação discreta.
Elementos básicos de geometria: métrica, comprimento de curva e geodésica.
2. Geometria Euclidiana.
Geodésicas de E².
Energia de uma curva.
Isometrias de E²: Rotações, Translações. Propriedades das Rotações, Translações.
Subgrupos discretos de Isom (E²): Subgrupo Discreto das Rotações,
Translações. Subgrupos do tipo I, II.
Grupos Triangulares.
Grupos Cristalográficos.
Regiões Fundamentais de Subgrupos Discretos de Isom (E²).
3. Geometria Intrínseca I
Métrica induzida por um mergulho R.
Derivada Covariante sobre uma superfície mergulhada em R .
Equação de uma geodésica sobre R.
4. Geometria Esférica
Parametrizações de S².
Métrica induzida pelo mergulho S² R .
Geodésicas sobre S².
Fatos básicos sobre O(3).
Subgrupos discretos de Isom (S²).
Área de um Triângulo Esférico.
Grupos Triangulares: Grupo Tetraedro, Cubo, Dodecaedro.
Classificação dos Subgrupos Discretos de Isom (S²).
Regiões Fundamentais de Subgrupos Discretos de Isom (S²).
5. Poliedros
Existência dos Poliedros de Platão e classificação.
Triangulação de um Poliedro.
Característica de Euler de um Poliedro.
Curvatura de um Poliedro.
6. Geometria Intrínseca II
Holonomia.
Curvatura.
7. Geometria Hiperbólica
Introdução. Espaço Hiperbólico H².
Geodésicas do Espaço Hiperbólico.
Isom (H²).
Modelo de Poincaré para H².
Classificação das isometrias que preservam a orientação (Isom (H²)).
Área de um Triângulo Hiperbólico.
Subgrupos discretos de Isom (H²). Grupos Fuchsianos.
Configuração de um grupo Fuchsiano. Teorema de Poincaré. Teorema da Realização Geométrica.
Região fundamental de grupos Fuchsianos.
8. Geometrização de Superfícies Compactas.
Grupo Fundamental.
Espaço de Recobrimento.
Classificação das Superfícies simplesmente conexas.
Geometrização de R² e S².
Métricas induzidas sobre Espaços Quocientes.
Classificação das Geometrias de dimensão 2.
Estrutura Geométrica de Curvatura constante sobre Superfícies compactas.
Referências Bibliográficas:
Beardon, A., The Geometry of Discrete Groups, Springer-Verlag, Graduate texts in Mathematics número 91.
Casson, A., Hyperbolic Geometry on Surfaces, London Math. Society, Student text.
Scott, ., The Geometry of 3-manifolds, Bulletin of London Math. Society, vol. 15, 1983, pg. 401-487.
Doria, C., Superfícies com curvatura constante, notas.