UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PRÉ-REQUISITO:
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 06
Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 108
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Curvas em R3 . Curvas em Rn. Curvas planas. Teoria Global. Superfícies em R3. Aplicação de Gauss (Segunda Forma Fundamental). Geometria Esférica. Geometria Hiperbólica.
OBJETIVOS GERAIS:
I - Propiciar ao aluno condições de:
1. Desenvolver sua capacidade de dedução
2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo.
5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.
III - Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolver problemas novos em Matemática.
OBJETIVOS:
PROGRAMA:
1 - Curvas em R3
Introdução. Curvas Parametrizadas. Curvas Regulares. Comprimento de Arco. Curvatura e Torsão. Curvas Indicatrizes e Involutas.
2 - Curvas em Rn. Curvas Planas.
Introdução. Referencial de Frenet, Equações de Frenet. Teoria Local de curvas Parametrizadas pelo Comprimento de Arco. Curvas planas com Curvatura Constante.
3 – Teoria Global de Curvas Planas
Número de Rotação, Umlaufsatz. Desigualdade Isoperimétrica
2 - Superfícies Regulares em R3
Introdução. Superfícies Regulares. Imagem Inversa de Valores Regulares. Funções Diferenciáveis sobre Superfícies. O Plano Tangente. Aplicações Diferenciáveis entre Superfícies e a Derivada de uma Aplicação. A Primeira Forma Fundamental (métrica induzida). Área. Orientação de Superfícies. Exemplos de Superfícies não Orientáveis. Campos Vetoriais sobre Superfícies.
3 - Aplicação de Gauss
Segunda Forma Fundamental. Curvatura Média, Curvatura Gaussiana. Derivada Covariante. Símbolos de Christoffel. Teorema de Egregium de Gauss e Equações de Mainard-Codazzi. Conexão de Levi-Civita sobre uma Superfície Mergulhada em R3 . Transporte Parallelo. Curvatura. Geodésicas.
4 – Geometria Esférica
Geodésicas de S2 . Isometrias de S2 . Teorema da soma dos ângulos internos de
um triângulo geodésico
5 – Geometria Hiperbólica
Modelo do semi-plano superior: geodésicas de H2 . Isometrias de H2 . Teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo geodésico. Curvatura de H2.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:
DO CARMO, M.; Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, 1976.
KLINGENBERG, WILHELM; A Course in Differential Geometry, Springer-Verlag, GTM 51, 1978.
LIPSCHUTZ, MARTIN M.; Differential Geometry, Coleção Schaum , Series in Mathematics, MacGraw-Hill, 1969.
BEARDON, ALAN; The Geometry of Discrete Groups, Springer-Verlag, GTM 91, 1982.
VENTURA, PAULO; Geometria Diferencial, Coleção Matemática Universitária – SBM 1998.