UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5505 - GEOMETRIA II
DISCIPLINA(S): Geometria II
CÓDIGO: MTM 5505
PRÉ-REQUISITO(S): MTM 5325, MTM 5500, MTM 5504
SEMESTRE: 95.2
Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS : 08
Nš TOTAL DE HORAS-AULA: 144
CURSO(S): Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Curvas algébricas em Rē, Cē. Espaços projetivos reais e complexos. Propriedades algébricas de curvas: Teorema de Bezoin. Pontos de inflexão e curvas cúbicas. Propriedades topológicas: Fórmula grau-genus. Recobrimento ramificado de C P . Superfícies de Riemann: a Função de Weierstrass. Superfícies de Riemann. Formas diferenciais sobre superfícies de Riemann: Diferenciais-holomorfos, Teorema de Abel e Teorema.
OBJETIVOS GERAIS:
I - Propiciar ao aluno condições de:
1. Desenvolver sua capacidade de dedução
2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo.
5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.
III - Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolver problemas novos em Matemática.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Estudar as superfícies sobre o ponto de vista complexo tratando-as como curvas algébricas complexas e como superfícies de Riemann.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1. Introdução.
Curvas algébricas em Rē, Cē: Projetivização.
Espaços Projetivos Reais e Complexos: coordenadas homogeneas.
Curvas afins e projetivas.
Cônicas em Pē.
Casos simples do teorema de Bezout; Intersecção de cônicas.
Sistema linear de cônicas passando por n pontos.
2. Propriedades Algébricas
Teorema de Bezout.
Pontos de Inflexão de curvas cúbicas.
3. Propriedades Topológicas
Fórmula do grau-genus: Primeiro método de demonstrar (ver [1]), Segundo método de demonstrar (ver [2]).
Recobrimento Ramificado de P . Demonstração da fórmula grau-genus (ver [1]).
4. Superfícies de Riemann
Definição: exemplos
Topologia das Superfícies de Riemann
Formas diferenciais
Integração sobre Superfícies de Riemann
Diferenciais Harmônicas
Funções Meromorficas e diferenciais
5. Diferenciais Holomorfas sobre Superfícies de Riemann
Diferenciais holomorfas
Teoria da interseção sobre Superfícies compactas
Diferenciais Harmônicas e Analíticas sobre Superfície de Riemann
Relações bilineares
Divisores e o Teorema de Riemann-Roch
Teorema de Abel
4. BIBLIOGRAFIA:
1. KIRWAN, F., Complex Algebraic Curves, London Math. Soc., Student Text 23.
2. REID, M., Undergraduate Algebraic Geometry, Student Text 12
3. FARKAS, H. KRAS, I., Riemann Surfaces, Springer-Verlag, 1980.
4. Fulton, W., Algebraic Curves, Benjamin-Cummirys, 1969.
5. Griffiths, P. A., Introduction to Algebraic Curves, Transactions of Math. monographies 76, AMS, 1989.