UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
PROGRAMA DE MTM 5619 - INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDP's)
SEMESTRE: 94.1
CURSOS: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
PRÉ-REQUISITO: 5818
Nº TOTAL DE AULAS SEMANAIS: 08
Nº TOTAL DE HORAS/AULA: 144
EMENTA: Conceitos gerais. Equações lineares com coeficientes constantes - Classificação. Equação do calor. Método de expansão em autofunções. Problemas não-homogêneos. Séries de Fourier. Equação da corda vibrante. Problemas em intervalos infinitos e semi-infinitos - fórmulas Integrais de Fourier. Problemas em duas ou mais variáveis espaciais. Equação de Laplace - Problemas de Dirichlet em Dimensão n=2. Princípio do Máximo.
OBJETIVOS: Introduzir elementos básicos da teoria das equações diferenciais parciais (EDP´S) lineares de 1º ordem e das EDPS lineares de 2ª ordem em seus tipos básicos (elípticas, hiperbólicas e parabólicas) e suas aplicações à problemas de difusão, propagacão de ondas e teoria do potencial (Equações do Calor, da Onda e de Laplace).
OBJETIVOS GERAIS
I - Propiciar ao aluno condições de :
1.Desenvolver sua capacidade de deducão.
2.Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3.Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4.Desenvolver seu espírito crítico e criativo.
5.Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
6.Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca
III - Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolver problemas novos em Matemática.
1 - CONCEITOS GERAIS: Definição de EDP, ordem, linearidade, solução geral. Soluções particulares por Substituição exponencial e separação de variáveis. Solução geral de uma EDP linear de 1ª ordem com coeficientes constantes. Problema de Cauchy. Problema bem posto. Métodos das características para EDP'S lineares de 1ª ordem com coeficientes variáveis. Equações lineares de 2ª ordem em duas variáveis independentes: classificação em tipos hiperbólico, elíptico e parabólico. Redução às formas canônicas.
2 - EQUAÇÃO DO CALOR: Fluxo unidimensional de calor, termos de fonte. Método de expansão em autofunções para PVIF's. Séries de Fourier. Cálculo dos coeficientes. Condições de fronteira de vários tipos. Problemas com autovalores múltiplos. Fórmulas de Green e aplicações a problemas de autovalores: Ortogonalidade de autofunções. Barra não-uniforme: Problema de Sturm-Liouville.
3 - PROBLEMAS NÃO-HOMOGÊNEOS: Equação do calor não-homogênea. Condições de Fronteira não homogêneas. Solução de Equilíbrio. Soluções assintóticas. Método de variação de parâmetros.
4 - SÉRIES DE FOURIER: Coeficientes de Fourier, Questões de Convergência pontual e uniforme para expansão em autofunções. Identidade de Parseval.
5 - EQUAÇÃO DA CORDA VIBRANTE: Dedução da equação. Solução de PVIF'S por separação de variáveis e expansão em autofunções. Problema da corda dedilhada: harmônicos, frequências, nós. Equação da Energia: Aplicação em questões de unicidade. Problemas não-homogêneos: Método de variação de parâmetros. Princípio do máximo fraco.
6 - PROBLEMAS EM INTERVALOS INFINITOS E SEMI-INFINITOS: Equação do calor na barra infinita. Transformada de Fourier. Fórmula integral de Fourier. Teorema de convolução. Núcleo do Calor. Transformada de Fourier do Núcleo do Calor. Velocidade ínfinita de Propagação. Equação do Calor na barra semi-infinita. Corda Infinita: Fórmula de D'Alembert. Velocidade finita de propagação. Domínios de dependência e influência. Corda semi-infinita. Problemas não-homogêneos: Método de Duhamel.
7 - PROBLEMAS EM DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ESPACIAIS: Fluxo de Calor bi dimensional e tridimensional: Problemas de autovalores associados. Séries de Fourier múltiplas. Fórmulas de Green. Problemas com condições de Fronteira não homogêneas. Problemas em domínios não-limitados. Fórmulas integrais de Fourier em Senos e Cosenos.
8 - EQUAÇÃO DE LAPLACE: Problemas de valor de Fronteira-PVF's. Problemas de Dirichlet e Neumann no retângulo. Problema de Dirichlet no disco. Fórmula de Poisson. Problema de Dirichlet num anel circular. Unicidade de Soluções. Princípio do Máximo. Problemas em domínios não-limitados.
BIBLIOGRAFIA
1 - Berg, P. W. & Mc Gregor, J. L.; Elementary Partial Differential Equations, Holden-Day (1966).
2 - Iório, V.; EDP um Curso de Graduação, IMPA (1991).
3 - Perla Menzala, G.; Introdução às Equações Diferenciais Parciais, 11º Colóquio Brasileiro de Matemática (1977).
4 - De Figueiredo, D. G.; Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Projeto Euclides-IMPA (1987).
5 - Andrade, N.G. e Medeiros, L.A - Iniciação às Equações Diferenciais Parciais (LTC 1978).
6 - Courant, R. e Hilbert, D. Methods of Mathematical Phisics, Interciense (1962).
7- Bassanezi, R.C. e Ferreira Jr.,W.C. - Equações Diferenciais com Aplicações, HARBRA (1988).