UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MTM 5620 - INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica, Especialização em Matemática
SEMESTRE: 94/1
PRÉ-REQUISITO: MTM 5822
Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08
TOTAL DE HORAS-AULA: 144
EMENTA: Existência e unicidade: Aproximações sucessivas e aproximações poligonais. Soluções maximais. Sistemas de equações diferenciais lineares: Teoria geral. Aspéctos de sistemas de equações diferenciais não lineares: estabilidade de Liapunov, órbitas periódicas, a EDO de Lienard.
OBJETIVOS:
Ao concluir a disciplina o aluno deverá:
a) Usar com naturalidade os teoremas de existência. unicidade e aproximação de soluções de EDOs. e conhecer suas demonstrações.
b) Ter um conhecimento completo das equações diferenciais ordinárias lineares (excluindo as equações complexas).
c) Ter os conhecimentos básicos da teoria da estabilidade estrutural local e da estabilidade assintótica dos sistemas não lineares de EDOs no plano.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
I. TEORIA GERAL
1 - Definição de EDO, exemplos
2 - Formalização matemática e análise de alguns métodos de resolução de EDOs: integrais primeiras, variáveis separaveis, equações exatas, equações homogeneas, fatores integrantes
3 - Algumas aplicações através de trabalhos distribuidos aos alunos.
4 - Discussão do problema de existência e unicidade de soluções de EDOs. Soluções maximais.
5 - Discussão do problema da aproximação de soluções
II - SISTEMAS DE EDO's LINEARES
A - Sistemas da forma x = A(t)x
1 - Existência e unicidade de soluções, propriedades das soluções, matrizes fundamentais, a formula de Liouville.
2 - Sistemas não homogêneos, propriedades das soluções, o método da variação dos parametros.
B - Sistemas lineares com coeficientes constantes
1 - Fluxos lineares
2 - A exponencial de uma matriz, propriedades
3 - Cálculo de exponencial de uma matriz usando os blocos de Jordan.
4 - Retratos de fase de sistemas bidimensionais simples
5 - Atratores lineares hiperbólicos
6 - Classificação topológica dos sistemas lineares hiperbólicas.
C - Sistemas x = A(z)x com coeficientes periódicos; teoria de Floquet.
III - SISTEMAS AUTONOMOS NÃO LINEARES NO PLANO
1 - Pontos regulares e pontos singulares; fluxo tubular no plano:
2 - Selas não lineares no plano
3 - Atratores não lineares no plano
4 - Órbitas periódicas, os critérios de Poincaré e de Bendixon
5 - Estabilidade no sentido de Liapunov
6 - Aplicações: sistemas gradientes, sistemas conservativos, a equação de Lienard.
IV - DEMONSTRAÇÃO DOS TEOREMAS
1 - Teorema de Picard
2 - Teorema de Peano
3 - Teorema da Uniformização
4 - Propriedades das soluções maximais
5 - Aproximações sucessivas e aproximações poligonais de soluções.
BIBLIOGRAFIA
1. S. J. FARLOW, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley F. Sons, 1982.
2. H. F. WEINBERG, Partial Differential Equations, Blaisdell Publiching Company, 1965.
3. E. C. ZACHMANOGLOU and D. W. THOE, Introduction to Partial Differential Equations With Applications, Dover Publ., Inc, NY., 1986.
4. S. MIZOHATA, Theory of Partial Differential Equations, CAMBRIDGE at the University Press, 1973.