UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA MTM 5624 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS I
PRÉ-REQUISITO(S): MTM 5619
Nº DE HORAS-AULA SEMANAIS: 08
Nº TOTAL DE HORAS-AULA: 144
SEMESTRE:
CURSO(S): Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Equações de 1ª ordem. Propagação de singularidades. Ondas de choque. Equações semilineares de 2ª ordem-classificação. Método das características. Teoremas de Cauchy-Kowalevsky e Holmgren. Séries de Fourier - Teoremas de convergência. Aplicações às equações do calor, da onda e de Laplace. Método de variação dos parâmetros. Problemas em coordenadas polares e esféricas. Equação da onda em R, R² e R . Propriedades das soluções. Problemas não homogêneos-método de Duhamel. Função de Riemann. Equação de Laplace - Princípio do máximo, problema de Dirichlet. Funções de Green. Fórmula de Poisson. Desigualdade de Harnack.
OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:
1 - Desenvolver sua capacidade de dedução.
2 - Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3 - Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4 - Desenvolver seu espírito crítico e criativo
5 - Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.
6 - Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Desenvolver tópicos da teoria clássica de equações diferenciais parciais, analisando com rigor algumas técnicas utilizadas no estudo de propriedades e teoremas de existência e unicidade de soluções das equações quase-lineares de primeira ordem e lineares ou semi-lineares de segunda ordem.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Equações de primeira ordem
1.1. Problema de Cauchy
1.2. Métodos das caracteristicas para equações lineares e quase lineares
1.3. Propagação de singularidades
1.4. Ondas de Choque
2. Equações de segunda ordem
2.1. Classificação das equações lineares e semi-lineares, formas canônicas
2.2. Problema de Cauchy
2.3. Teorema de Cauchy-Kowalevsky
2.4. Teorema de unicidade de Holmgren
3. Séries de Fourier e aplicações
3.1. Espaços semi-normados
3.2. Estimativas dos coeficientes
3.3. Lema de Riemann-Lebesgue
3.4. Desigualdade de Bessel
3.5. Teorema de Convergência pontual, teste de Dini.
3.6. Teoremas de Convergência uniforme
3.7. Identidade de Parseval
3.8. Teoremas de existência de solução para as equações do calor e da onda
3.9. Aplicações ao cálculo de séries numéricas
4. Equação da onda
4.1. Equação da onda na reta. Fórmula de D'Alembert
4.2. Equação da onda no espaço tridimencional. Método de médias esféricas.
4.3. Equação da onda em R². Método de descida de Hadamard.
4.4. Propriedades das soluções: regularidade, decaimento, velocidade finita de propagação e princípio de Huygens.
4.5. Unicidade de soluções. Método da energia
4.6. Função de Riemann
5. Equação de Laplace
5.1. Fórmulas de Green
5.2. Soluções fundamentais
5.3. Função de Green. Aplicação
5.4. Problema de Dirichlet numa bola do espaço n-dimensional. Fórmula de Poisson. Casos do disco e da esfera sólida.
5.5. Princípio do Máximo-minimo. Unicidade de soluções
5.6. Desigualdade de Harnack
5.7. Equação de Poisson
6. Problemas em Coordenadas polares.
6.1. Membrana circular
6.2. Calor numa placa circular
6.3. Equação de Laplace numa região cilíndrica
7. Método de variação de Parâmetros
7.1. Princípio de Duhamel
7.2. Problemas não homogêneos para as equações da onda e do calor.
7.3. Problemas homogêneos com coeficientes variáveis
7.4. Problemas semi-lineares. Uso do Teorema do Ponto fixo de Banach
BIBLIOGRAFIA:
1 - BERG, P. W. & Mc GREGOR, J. L.; Elementary Partial Differential Equations, Holden-Day (1966).
2 - IÓRIO, V. M.; EDP um Curso de Graduação, IMPA (1991).
3 - DE FIGUEIREDO, D. G.; Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Projeto Euclides - IMPA (1987).
4 - IÓRIO JR., R. & IÓRIO, V. M. Equações Diferenciais parciais: uma introdução; Projeto Euclides - IMPA (1988).
5 - FRITZ JOHN; Partial Differential Equations, Spring-Verlag, 4ª Edição (1982).
6 - HELLWIG, G.; Partial Differential Equations, B. G. Teubner - Stuttgart (1977).
7 - IÓRIO, R. J. & Nunes, W. V. L.; Introdução às Equações de Evolução não lineares, 18º Colóquio Brasileiro de Matemática - IMPA (1991).
8 - ZACHMANOGLOU; Introduction to Partial Differential Equations with applications, Dover Publications.