UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE - MTM 5625 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS II
PRÉ-REQUISITO: MTM 5624 e MTM 5312
Nš DE HORAS AULA SEMANAIS: 08
Nš TOTAL DE HORAS AULA: 144
SEMESTRE:
CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica
EMENTA: Espaços L : Propriedades, Reflexividade, Separabilidade, Dual. Convolução e Regularização. Transformada de Fourier em L (R ), S (R ) e Lē (R ). Aplicações à equação do calor. Núcleo do calor - Propriedades. Espaços de Hilbert: Teorema da Projeção, Teorema da Representação de Riesz, Lema de Lax-Milgran. Os espaços de Sobolev W (r) e problemas variacionais. Aplicação ao problema de Dirichlet e equações elípticas. Soluções generalizadas.
OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:
1 - Desenvolver sua capacidade de dedução.
2 - Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.
3 - Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.
4 - Desenvolver seu espírito crítico e criativo
5 - Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática
apresentadas ao longo do curso.
6 - Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Desenvolver ferramentas básicas da teoria dos espaços de Sobolev com o fim de introduzir técnicas modernas do estudo de equações diferenciais parciais lineares e não-lineares.
CONTEUDO PROGRAMATICO:
1 - Espaços L ( ), R , 1 <p<+
1.1 - Definição e propriedades elementares. Teorema de Riesz-Fischer.
1.2 - Desigualdades de Holder e Minkowski
1.3 - Reflexividade e separabilidade. Dual de L .
1.4 - Convolução e regularização.
1.5 - Critérios de Compacidade em L .
2 - Distribuições
2.1 - O espaço das funções testes.
2.2 - Partição da unicidade.
2.3 - O espaço ( ).
2.4 - Distribuições. Definição e propriedades.
2.5 - Funções localmente integráveis e distribuições.
2.6 - Derivação de distribuições. Propriedades.
3 - Transformada de Fourier.
3.1 - O espaço de Schwarzs S(R ).
3.2 - Propriedades. Densidade.
3.3 - Distribuições temperadas.
3.4 - Transformada de Fourier no espaço de Schuarz.
3.5 - Transformada de Fourier no Lē. Teorema de Plancharel.
3.6 - Transformada de Fourier de distribuições temperadas.
3.7 - O Laplaciano em Lē(R ).
3.8 - Problema de Cauchy para a equação do Calor. Núcleo de calor
4 - Espaços de Hilbert
4.1 - Definição e propriedades
4.2 - Teorema da projeção
4.3 - Dual de um espaço de Hilbert
4.4 - Teorema da representação de Riesz.
4.5 - Teorema de Lax-Milgran e de Stampacchia
5 - Espaços de Sobolev
5.1 - Definição e propriedades elementares
5.2 - Operadores de prolongamento
5.3 - Os espaços W ( )
5.4- Desigualdades de Sobolev. Teoremas de Imersão. Teorema de Rellich - Kondrachoff.
5.5 - Normas equivalentes. Desigualdade de Poincaré.
5.6 - Teoremas do traço. Introdução.
6 - Aplicações
6.1 - Problemas variacionais.
6.2 - Problemas de Dirichlet e Neumann
6.3 - Soluções generalizadas
6.4 - Método de Faedo-Galerkin: aplicação à equações de evolução. Uma
introdução.
BIBLIOGRAFIA:
1) IÓRIO JR., R. & IÓRIO, V. M. - Equações Diferenciais Parciais: Uma introdução, Projeto Euclides-IMPA (1988)
2) BREZIS, H. - Analyse Fonctionnelle: théorie et Applicátions, Masson (1983).
3) MEDEIROS, L. A. & RIVERA, P. H. - Iniciação aos Espaços de Sobolev, IM-UFRJ, Rio de Janeiro (1977).
4) KESAVAN, S. - Topics in Functional Analysis and Applications, Wiley (1989).
5) ADAMS. R. A., Sobolev Spaces, Academic Press (1975).