UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS - CFM

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE MTM 5626 - EQUACÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS I

 

Semestre : 97.l.

Pré-requisito: MTM 5620

No. de horas aulas semanais: 08

Total de horas-aula: 144

EMENTA: Dependência contínua e diferenciável das soluções . Teorema do fluxo tubular. Transformação de Poincaré: Teorema de Poincaré - Bendixson em superfícies. Estabilidade estrutural:

Teorema de Hartman e Teorema de Peixoto.

OBJETIVOS GERAIS:

I . Propiciar ao aluno condições de:

1. Desenvolver sua capacidade de dedução;

2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas ao longo do curso

6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

  1. Apresentar ao aluno a abordagem geométrica das equações diferenciais ordinárias.

  2. Permitir ao aluno um conhecimento introdutório dos problemas conservativos via formalismo Hamiltoriano com ênfase no clássico problema dos N-corpos.

  3. Permitir-lhe a análise da estabilidade local de singularidades e órbitas periódicas de equações diferenciais.

 

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

  1. Dependência contínua e diferenciável nas condições iniciais e parâmetros.

  1. Continuidade.

  2. Diferenciabilidade.

  3. As noções de semifluxo e fluxo.

  4. Redução ao caso autônomo.

II) Campos que preservam "volume".

  1. Teorema de Liouville.

  2. Integrais Primeiras.

  3. Hamiltonianos.

  1. Teoria Local.

  1. Singularidades e órbitas periódicas.

  2. Existência de órbitas periódicas. Equações diferenciais periódicas. Teoria do Grau.

  3. Teorema do Fluxo Tubular.

  4. Estabilidade de singularidades-caso linear.

  5. Transformação de Poincaré.

  6. Singularidades e órbitas periódicas hiperbólicas: Teorema de Hartmann, estabilidade

IV) Sistemas Hamiltonianos.

  1. Exemplos: oscilador harmôniaco, sistemas newtonianos gerais, par de oscilares harmônicos, fluxo liner no toro.

  2. O problema dos N-corpos: equações, integrais clássicas, o problema de Kepler, o problema restrito dos 3-corpos.

  3. Soluções simples do problema dos N-corpos

  4. Hamiltonianos lineares - espaços vetoriais simpléticos, o espectro dos Hamiltonianos e operadores simpléticos . Sistemas periódicos e a teoria de Floquet-Lyapounov.

V) Teoria geométrica dos sistemas dinâmicos.

a) Teorema de Poincaré-Bendixson.

b) Introdução ao Teorema de Peixoto.

 

BIBLIOGRAFIA

1) Braun, M, Coleman, C.S., Drew, D, Differential Equation Models, Springer-Verlag, New York, 1983.

2) Hubbard, J, Nest, B. H., Differential Equations: A Dynamical Systems Approach.

Part I. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Yerlag, New York. 1991.

3) Perko, L. , Differential Equation and Dinamical Systems, Springer-Verlag, New York.1991.

4) Sotomayor, J; Lições de Equações Diferenciais Ordinárias IMPA-CNPq, Rio de Janeiro l979.