UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 

PROGRAMA DE MTM 5627 - EQUAÇÕES ORDINÁRIAS II

 

PRÉ-REQUISITO: MTM 5626

Nº DE HORAS AULA SEMANAIS: 08

Nº TOTAL DE HORAS AULA: 108

SEMESTRE:

CURSO: Bacharelado em Matemática e Computação Científica

EMENTA: Mudanças de coordenadas e formas normais de EDO’s Variedades invariantes associadas a EDO’s. Teoria local das bifurcações. Introdução à teoria do caos de sistemas bidimensionais

OBJETIVOS GERAIS: Propiciar ao aluno condições de:

  1. Desenvolver sua capacidade de dedução.

  2. Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado.

  3. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas.

  4. Desenvolver seu espírito crítico e criativo

  5. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso.

  6. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Propiciar ao aluno condições de:

  1. Analisar as propriedades locais de um sistema diferencial em vizinhanças de singularidades e órbitas periódicas.

  2. Identificar quando o sistema é equivalente ao seu modelo linear.

  3. Entender parcialmente a dinâmica presente quando o sistema exibir intersecções homoclinicas.

  4. Analisar e verificar a presença de atratores nos sistemas estudados.

  5. Conhecer os modelos fundamentais como família quadrática, atrator de Henon e atrator de Lorenz.

  6. Conhecer algumas possíveis transições para o caos.

  7. Estimar numericamente a dimensão e o expoente de Lyapunov de um sistema.

CONTEUDO PROGRAMATICO:

  1. Elementos de dinâmica discreta. Exemplos e propriedades elementares do problema da conjugação. A noção de linearização. Teorema de Hartman - Grobman para difeomorfismos e fluxos.

  2. Variedades invariantes. Exemplos. O teorema da variedade estável em 2 dimensões; idéia geométrica da prova. Aplicações. Órbitas homoclínicas.

  3. Dinâmica unidimensional. Família quadrática. Derivada Schawarziana e propriedades. Dinamica simbólica na família quadrática. A noção de sistema caótico. Bifurcações na família quadrática: tangente, duplicação de período. O atrator de Feigenbaun. Rotações do círculo. Aplicação de Arnold.

  4. Sistemas caóticos. A noção de sensibilidade às condições iniciais. Sistemas transitivos. O conceito de atrator. Exemplos de atratores: Henon, Lorenz, Feigenbaun. Expoentes de Lyapunov. Métodos numéricos.

  5. Formas normais para campos em pontos singulares não-hiperbólicos. Formas normais para difeomorfismos. Blowing up em  2 polar e direcional. Famílias de Equações diferenciais e bifurcações: a bifurcação sela-nó e a bifurcação de Hopf Exemplos: a equação de Duffing. Famílias de equações diferenciais e bifurcação de Hopf. Exemplos: a equação de Duffing.

 

BIBLIOGRAFIA:

  1. Devaney, R. L. An Introduction to Chaotyc Dynamical Systems. Addison - Wesley Publishing Company Boston. 1987.

  2. Guckenheimer, J; Holmes, P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields; Applied Mathematical Sciences, 42. Springer - Verlag, New York. 1986.

  3. Grimshaw, R. Nonlinear Ordinary Differential Equations, Crc Press, Boca Raton, 1993, 328 pg.

  4. Hairer, E, Norsett, S. P, Nanner, G., Solving Ordinary Differential Equations I. Springer. Verlag, 1983

  5. Ioos G., Joseph, D. D. Elementary Stability and Bifurcation Theory Springer - Verlag - New York, 1980. 286p.

  6. Sotomayor, J. Curvas definidas por equações diferenciais no plano. 13o Colóquio Brasileiro de Matemática IMPA - CNPq, Rio de Janeiro, 1981.