UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA MTM 5708 - INTRODUÇÃO A TEORIA DE GRUPOS

CURSOS: Licenciatura em Matemática

PRÉ-REQUISITOS: MTM 5219 - Álgebra e MTM 5254 - Álgebra Linear I

NOME: Tópicos Especiais de Grupos

Nš DE HORAS-AULA SEMANAIS: 04 h/a semanais

TOTAL DE HORAS-AULA: 72 h/a

EMENTA: Grupos. Grupos de permutação. Grupos de simetrias. Grupos Cíclicos. Grupos Quocientes. Isomorfismos. História da Matemática relacionada com o conteúdo.

OBJETIVOS GERAIS:

I - Propiciar ao aluno condições de:

1 - Desenvolver sua capacidade de dedução;

2 - Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;

3 - Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas;

4 - Desenvolver seu espírito crítico e criativo;

5 - Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da Matemática apresentadas ao longo do Curso;

6 - Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.

II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

- Propiciar ao aluno:

1) uma visão geométrica de grupos

2) a abstração necessária a fim de obter a classificação de grupos finitos via Teorema de Cayley.

1. SIMETRIAS DE POLÍGONOS REGULARES

1.1. Composição de Simetrias

1.2. Conjuntos de Geradores

1.3. Propriedades Estruturais

1.4. Isometrias

2. ESTRUTURA DE GRUPO

2.1. Exemplos e contra-exemplos

2.2. Subgrupos. Grupos cíclicos.

2.3. Homomorfismos

2.4. Núcleo e Imagem

2.5. Isomorfismo. Grupo de Automorfismos

2.6. Classes Laterais. Teorema de Lagrange

2.7. Subgrupos Normais

2.8. Grupos Quocientes. Aplicação: o grupo Zn.

3. O TEOREMA DE CAYLEY

3.1. Grupo de Permutações

3.2. Sinal de Permutação

3.3. O Conjunto de Geradores

3.4. O Subgrupo das Permutações Pares

3.5. O Teorema de Cayley. Aplicações.

BIBLIOGRAFIA:

1. Domingues, H. H. - Álgebra Moderna - Atual Editora - 1982

2. Birkhoff, G. & MacLane, S. - Álgebra Moderna - Editorial Vicens-Vivens - 1970

3. Garcia, A. & Lequain, Y. - Álgebra: um curso de introdução - Projeto Euclides - IMPA - 1988.

4. Ruoff, E. B. L. - Isometrias e ornamentos no plano euclidiano - Atual Editora - USP - 1982

5. Barbosa, R. M. - Descobrindo padrões em mosaicos - Atual Editora - 1993.