PROGRAMA DE MTM 5812 - H-ÁLGEBRA LINEAR II

CURSO(S): Bacharelado em Matemática e Computação Científica

SEMESTRES: 95/2

PRÉ-REQUISITO: -

Nº DE HORAS/AULAS SEMANAIS: 08

TOTAL DE HORAS-AULA: 144

EMENTA: Espaços vetoriais, bases e dimensão, Transformacões lineares, Produto interno, Bases ortonormais, Decomposição QR, Autovalores e autovetores de um operador linear, Métodos Numéricos para cálculo de autovalores e autovetores, Matrizes autoadjuntas e o teorema espectral, Identificação de conicas em R² e quádricas em R, Uso de pacotes, Aplicações Numéricas.

CONTEÚDO PROGRAMATICO:

1 - ESPAÇOS VETORIAIS

1.1. Subespaços vetoriais. Interseção e soma de subespaços vetoriais.

1.2. Sistema de m equações lineares em n variáveis. A forma escalonada de uma matriz m x n Variáveis dependentes e independentes de um sistema linear.

1.3. Dependência linear entre vetores. Base e dimensão de um espaço vetorial.

1.4. Os quatro espaços fundamentais definidos a partir de uma matriz: espaço coluna, espaço linha, núcleo à direita e núcleo à esquerda. O Posto de uma matriz. Matrizes de posto um.

1.5. Matriz de incidência de um grafo orientado. Grafos e Redes em Matemática Discreta.

2 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Matriz de uma transformação linear em relação a uma base do domínio e a uma base do contradomínio. Núcleo e imagem de uma transformação linear.

2.2. Rotações, projeções e reflexões.

2.3. Composição de transformações lineares. Transformações lineares inversíveis. Operadores Lineares.

2.4. Os espaços fundamentais para o produto AB de duas matrizes.

3 - ORTOGONALIDADE

3.1. Vetores perpendiculares e subespaços ortogonais.

3.2. Produtos internos. Ângulo entre vetores em relação a um produto interno. Desigualdade de Schwarz.

3.3. Projeção de um vetor sobre um expaço. O problema de mínimos quadrados. Ajuste linear de dados por mínimos quadrados.

3.4. Bases ortogonais, matrizes ortogonais e o método de ortogonalização de Gram-Schmidt.

3.5. Espaços de funções e séries de Fourier. Transformada Rápida de Fourier (FFT).

4 - AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UM OPERADOR LINEAR

4.1. Autovalores e autovetores de uma matriz triangular.

4.2. Polinômio característico de uma matriz. Determinação do auto-espaço associado a um autovalor.

4.3. Matrizes diagonalizáveis.

4.4. Formas quadráticas e sua diagonalização.

BIBLIOGRAFIA:

Strang, Gilbert - Linear Álgebra and its applications; Ed. Harcourt Brace Jovanovich.